61. Исследование квадратного уравнения.

В зависимости от коэффициентов квадратного уравнения (59.1) его корни представляют собой числа действительные или мнимые, различные или равные, положительные или отрицательные. Исследование уравнения состоит в установлении характера корней уравнения в зависимости от его коэффициентов.

Дискриминант

квадратного трехчлена, использованный при построении его графика и исследовании свойств трехчлена будем также называть дискриминантом квадратного уравнения (59.1).

От его знака существенно зависит характер корней уравнения, так как он стоит под знаком радикала в формуле (59.9).

I. d > 0; корни уравнения действительные, различные.

В самом деле, под знаком радикала в формуле (59.9) имеем положительное число и находим два различных действительных корня . Тот же результат следует из рис. 45, в, г, показывающих, что график квадратного трехчлена при пересекает в двух точках.

Полагая исследуем знак корней. Для этого воспользуемся формулами Виета (60.2). Будем для удобства считать, что а > 0.

Ia. d > 0, а > 0, с > 0. Корни одного знака, так как их произведение положительно. Если , то они оба положительны; если то они оба отрицательны.

Iб. d > 0, а > 0, с < 0. Корни разного знака, один из них положителен, другой отрицателен.

Iв. d > 0, а > 0, с = 0 (уравнение «неполное» вида Один из корней равен нулю, знак другого противоположен знаку b.

II. d = 0. Корни квадратного уравнения действительные и совпадающие (графически эта ситуация выражается в том, что парабола касается оси рис. 45, д, е) знак корней при противоположен знаку b.

III. d < 0. Корни комплексно сопряженные (парабола не пересекает оси рис. 45, а, б).

Пример 1. Исследовать уравнения: а)

Решение, а) Вычисляем дискриминант d уравнения по формуле (61.1):

Дискриминант уравнения положителен. Имеет место случай I: корни данного уравнения — числа действительные и различные. Из того, что следует, что корни имеют разные знаки. Можно исследование провести и дальше: здесь и поэтому положительный корень больше модуля отрицательного корня

б) Корни комплексные сопряженные; в) корни равные положительные; г) корни действительные, различные, отрицательные; д) корни равные отрицательные; е) корни действительные, различные, положительные; ж) корни действительные, различные, разных знаков, причем модуль отрицательного корня больше положительного корня.

Сложней решается задача исследования квадратного уравнения с буквенными коэффициентами. Ограничимся одним примером такого рода (см. также пример 4 п. 80).

Пример 2. Исследовать уравнение

1. В случае уравнение превращается в линейное и имеет корень

2. Пусть Находим дискриминант

Приходится различать три случая:

1) . В этом случае уравнение имеет два действительных корня, так как если то корни отрицательные: их произведение сумма Если то корни разных знаков (их произведение отрицательно).

2) Уравнение имеет двойной корень

3) Корни уравнения комплексно сопряженные.