39. Квадратичная функция у=ах^2.

Рассмотрим функцию

установим ее простейшие свойства и построим график этой функции.

1. Функция определена при всех значениях значения функции неотрицательны: она равна нулю при и положительна при любых других значениях х. Следовательно, график функции проходит через начало координат и располагается выше оси Ох (имея с ней общую точку ).

2. Функция четная: ; график функции симметричен относительно оси Поэтому достаточно построить его для и затем зеркально отразить относительно Оу.

3. При функция - возрастающая; действительно, при имеем , т. е. . Для отрицательных х, т. е. в интервале , функция убывает. Всего имеем два интервала монотонности:

1) интервал убывания ,

2) интервал возрастания .

Точка - точка минимума функции. В ней функция принимает свое наименьшее значение, равное нулю.

4. Для правильного изображения графика функции полезно рассмотреть более подробно характер ее изменения («поведение») при х, весьма близких к нулю, и при весьма больших х.

Рис. 28.

Если х принимает, например, большие положительные значения, скажем и т. д., то у также быстро растет (при функция также стремится к бесконечности). При этом у растет не только в абсолютном смысле, но и по отношению к х. Именно, находим из

откуда видно, что с увеличением х отношение растет неограниченно, стремится к бесконечности. Поэтому график функции поднимается вверх (вправо) весьма круто (рис. 28).

При очень малых х, например при принимает, соответственно, еще более быстро убывающие значения 0,01; 0,0001; 0,000001, малые не только «абсолютно», но и по отношению к х (что видно из того же равенства (39.2)). Геометрически это означает, что наклон хорды, соединяющей точку (х, у) графика с точкой (0, 0), при малых будет очень мал: график подходит к началу координат, тесно сближаясь с осью Ох, «касаясь» оси Ох (рис. 28).

Для более точного изображения графика составим еще небольшую табличку значений функции, например:

Полученные на рисунке точки соединим плавной линией с учетом общих, установленных выше свойств функции.

Графики функций имеют такой же характер; при ординаты графика функции отличаются множителем а от ординат графика функции . При получается график, симметрично расположённый с графиком относительно оси Ох.

Рис. 29.

На рис. 29 показаны графики функций при

Напомним, что график функции вида называется параболой, ось симметрии графика называется осью параболы (здесь она совпадает с осью Оу), точка пересечения параболы со своей осью — вершиной параболы (здесь вершина совпадает с началом координат).

Функции более общего вида (37.3) (квадратные трехчлены) изучаются в п. 45.