113. Дальнейшие примеры построения графиков функций.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. 1) Область определения функции.

Функция определена для тех значений аргумента для которых Такие значения аргумента заключены в пределах где .

2) Периодичность функции.

sinx - периодическая функция с основным периодом, равным Следовательно, для тех для которых определена функция мы будем иметь т. е. исследуемая функция будет иметь периодом также число Исходя из соображений периодичности, достаточно исследовать нашу функцию на любом отрезке длины например на отрезке . Но на отрезке наша функция определена не всюду — она определена только в интервале , поэтому в дальнейшем будем изучать поведение данной функции в интервале .

3) Область изменения функции.

В интервале наибольшее значение, которое принимает sinx, равно 1 (в точке ), а наименьшего значения нет, но при оставаясь положительным. Функция сначала возрастает от до , а затем убывает от 0 до . Итак,

4) Четность функции.

Функция ни четная, ни нечетная.

5) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью наша функция определена только в интервале , а в точке она не существует, поэтому точки пересечения с осью не существует;

6) с осью функции); наша функция обращается в нуль в единственной точке интервала — в точке , а в остальных точках этого интервала она отлична от нуля.

6) Вертикальные асимптоты.

Заметим, что прямые являются вертикальными асимптотами для нашей функции, ибо при и при .

7) Интервалы знакопостоянства функции.

На исследуемом отрезке наша функция всюду неположительна, т. е. ибо Следовательно, график функции лежит под осью

Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке

Наибольшего значения функция достигает в единственной точке и это значение равно Наименьшего значения функция не имеет, ибо при и при График функции изображен на рис. 122.

Рис. 122.

Пример 2. Построить график функции . Решение. 1) Область определения функции: х — любое действительное число.

2) Область расположения графика функции.

Заметим, что (так как ), поэтому

Геометрически это означает, что график функции заключен между графиками функций .

3) Четность функции.

Данная функция, как произведение двух нечетных функций есть функция четная.

В дальнейшем будем исследовать функцию при

Точки пересечения с осями координат:

а) с осью при мы имеем следовательно, график функции проходит через начало координат;

б) с осью Ох (у = 0) (нули функции); функция обращается в нуль в точках, где , т. е. в точках вида

Точки, в которых функция принимает значения, равные или -х.

a) в точках, где , т. е. в точках

б) в точках, где , т. е. в точках

Построим график функции сначала для а затем, используя четность нашей функции, отразим его зеркально в оси График функции изображен на рис. 123.

Рис. 123.

Пример 3. Построить график функции

Решение. 1) Область определения функции.

Функция определена для тех значений для которых существует и отлична от нуля функция , т. е. для всех кроме

где

2) Для всех из области определения функции имеем

3) Четность функции.

Функция — четная. Следовательно, достаточно сначала построить ее график для х > 0.

4) Заметим, что при в интервалах

т. е. в интервалах и т.д.; при х > 0 в интервалах

т. е. в интервалах и т. д.

5) Окончательно имеем (для х > 0)

Построим график функции сначала для , а затем, используя четность данной функции, отразим его зеркально в оси

Рис. 124.

График функции изображен на рис. 124.

Упражнения

1. Найти по таблицам тригонометрических функций следующие значения:

2. Провести исследование и построить графики следующих функций: