228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника.

Выше уже отмечалось, что не при всяком числе сторон можно выполнить построение правильного многоугольника по способу 1 или 2, ограничиваясь лишь циркулем и линейкой. Для некоторых эта задача решается совсем просто читатель должен разобрать эти случаи самостоятельно). Для других , например несколько сложнее (см. ниже, задачи). Гаусс нашел способ построения правильного 17-угольника (хотя, например, правильный 7- или 9-угольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки). Гаусс показал также возможность построения правильного 257-угольника с помощью циркуля и линейки. Легко, однако, построить все правильные многоугольники с числом сторон , последовательно возрастающим в два раза, начиная с некоторого исходного числа, например с или

Рис. 315.

Так, пусть на рис. 315 изображен правильный n-угольник (фактически показан 6-угольник), вписанный в окружность радиуса R. Разделим пополам каждую из дуг между соседними вершинами многоугольника. Проще всего разделить пополам обычным способом одну из этих дуг, а затем радиусом, равным стороне многоугольника, сделать из этой точки деления, как из центра, засечку на окружности; из полученной точки тем же радиусом сделаем новую засечку и т. д. В результате окружность окажется разделенной на равных частей старыми вершинами многоугольника и новыми точками деления, которые и послужат вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность.

Непосредственно видно, что периметр и площадь -угольника меньше периметра и площади -угольника, вписанного в ту же окружность: при удвоении числа сторон правильного многоугольника (радиус сохраняется!) периметр и площадь его возрастают.

Приведем еще формулы для стороны и апофемы -угольника. Имеем

Выразим через синус двойного угла по формуле

с учетом равенства

Найдем

откуда

или проще:

Для апофемы имеем выражение

Легко провести и процесс удвоения числа сторон многоугольника, исходя не из многоугольника, вписанного в окружность, а из многоугольника, описанного около окружности. В этом случае мы делим пополам дуги окружности между точками касания и проводим в них новые касательные, получая -угольник, описанный около той же окружности; на рис. 316, исходя из квадрата, мы построили правильный восьмиугольник, описанный около окружности. Разница состоит в том, что прежде мы сохраняли радиус многоугольника: -угольник и -угольник вписывались в одну и ту же окружность и имели равные радиусы, теперь же мы сохраняем апофему: -угольник и -угольник описываются вокруг одной и той же окружности и имеют равные апофемы. Ясно непосредственно, что при удвоении числа сторон правильного многоугольника с сохранением его апофемы периметр и площадь его убывают.

Задача 1. Найти отношение площадей двух правильных восьмиугольников, один из которых вписан в некоторую окружность, а другой описан вокруг нее.

Решение. Радиус вписанного восьмиугольника, который мы обозначим через R, служит апофемой описанного восьмиугольника.

Рис. 316.

Рис. 317.

Если мы найдем радиус описанного восьмиугольника, то отношение площадей будет равно квадрату отношения радиусов и задача будет решена. На рис. 317 видно, что Отсюда . Для отыскания последнего выражения не нужно пользоваться таблицами. В самом деле,

Задача 2. Вычислить длину стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса

Решение. Пусть а — сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R (рис. 318).

Рис. 318.

Рис. 319.

Треугольник АОВ равнобедренный с острым углом при вершине О, равным 36°. Можно сразу написать , но мы вычислим сторону не прибегая к тригонометрии.

Для этого проведем из вершины В биссектрису ВС. В треугольнике АБС угол С равен 72°. Треугольники АОВ и ABC подобны. Отсюда, замечая, что находим пропорцию из нее получаем уравнение для определения неизвестной стороны: Имеет смысл только положительное решение (при этом видно, что ).

Найденное выражение для стороны а позволяет решить задачу о построении правильного десятиугольника, вписанного в данную окружность. Для этого по радиусу окружности R построим . С этой целью возьмем прямоугольный треугольник АОМ (рис. 319), катетами которого служат радиус окружности R и половина радиуса, перпендикулярного к нему. По теореме Пифагора гипотенуза AM этого треугольника равна Вычитая из нее отрезок ОМ, равный половине радиуса, получим в остатке отрезок а, который и будет стороной правильного десятиугольника. Сделав ряд засечек, начиная из произвольной точки окружности, получим вершины десятиугольника. На рис. 319 видно, как, соединяя эти вершины через одну, мы вписали в окружность правильный пятиугольник.

Упражнения

1. Построить правильные -угольники, вписанные в данную окружность и описанные вокруг нее.

2. Вычислить отношение площади вписанного -угольника к площади описанного -угольника при .

3. Вычислить сторону правильного -угольника, пользуясь формулой удвоения.