Глава V. УРАВНЕНИЯ

§ 1. Общие сведения об уравнениях

53. Уравнение. Корни уравнения.

Многие задачи приводятся к решению следующего вопроса: Дано равенство

левая и правая части которого являются алгебраическими выражениями, содержащими неизвестную величину х (или функциями от х). Требуется найти все те значения которые удовлетворяют равенству (53.1) (т. е. значения х, подстановка которых в равенство (53.1) обращает его в верное числовое равенство). Равенство (53.1) называют в этом случае уравнением с одной неизвестной Множество значений х, при которых определены обе части уравнения (53.1), называют областью допустимых значений (о. д. з.). Каждое значение х, удовлетворяющее уравнению (53.1), называется его решением или корнем. Ясно, что всякий корень уравнения принадлежит о. д. з., множество корней уравнения составляет часть о. д. з. (уравнение может и не иметь корней, тогда говорят, что множество его решений пусто). Основная задача состоит в том, чтобы найти все корни данного уравнения, т. е. множество его решений.

Для придания точного смысла задаче решения уравнения следует еще указать, в какой числовой области (числовом поле) ищутся его решения. Как правило, подразумевается, что требуется найти все действительные решения уравнения, но для важнейшего класса уравнений, называемых алгебраическими (п. 55), ставится задача отыскания всех их комплексных решений, в том числе, конечно, и действительных.

Приведем несколько примеров, поясняющих сказанное.

Пример 1. Уравнение имеет в качестве о. д. з. всю числовую ось, множество его решений состоит из двух корней

Пример 2. Уравнение в действительной области не имеет решений. В комплексной области оно имеет два решения: .

Пример 3. Уравнение удовлетворяется при всех допустимых значениях х, т. е. при .

Пример 4. Уравнение не удовлетворяется ни при каком значении х. Множество его решений пусто.