157. Плоскость. Фигуры и тела.

Легко представить себе поверхность как границу тела: плоская поверхность стола, сферическая поверхность мяча, цилиндрическая поверхность трубы. Но такое представление неполно. Возьмем тонкую замкнутую проволоку изогнутой формы и опустим ее в мыльную пену. Если мы ее осторожно извлечем из пены, то увидим, что просвет в проволочном «кольце» затянут тончайшей мыльной пленкой. Правильно представлять себе поверхность именно как такую пленку (но лишенную всякой толщины).

Рис. 142.

Важнейшая и простейшая поверхность — плоскость. Напомним основные свойства плоскости. Прямая, две точки которой лежат в плоскости, вся лежит в этой плоскости (т. е. все ее точки лежат в плоскости). Следовательно, если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с ней не более одной общей точки (точка пересечения прямой и плоскости). Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость (и притом только одну). Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести плоскость, и притом единственную. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом единственную. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку (линия пересечения двух плоскостей), либо совпадают целиком.

Прямая лежащая в плоскости, разбивает ее на две части — полуплоскости (рис. 142); точки этой прямой и только они являются общими точками обеих полуплоскостей. Если А — точка одной полуплоскости, другой, то отрезок АВ пересекает границу полуплоскостей в некоторой точке С, лежащей между А и В.

Плоскости задаются тремя точками и обозначаются часто так: плоскость ABC или PQR и т. д. Иногда бывает удобнее обозначать плоскость одной буквой греческого алфавита (мы используем строчные буквы второй половины алфавита: ).

Под фигурой обычно понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей).

Под телом понимают обычно часть пространства, ограниченную какой-либо замкнутой поверхностью. Так, конус — тело, ограниченное конической поверхностью с боков и плоским круглым основанием снизу. Куб — тело, ограниченное шестью квадратными гранями, и т. д.

Курс геометрии традиционно подразделяется на планиметрию и стереометрию; в планиметрии рассматриваются свойства различных фигур (треугольников, многоугольников, окружностей), лежащих в одной плоскости. В стереометрии изучаются свойства пространственных фигур и тел.

158. Угол. Рассмотрим в плоскости два луча ОА и ОВ (рис. 143), исходящих из одной точки О. Эти два луча разбивают плоскость на две области — одна из них заштрихована на рис. 143, другая оставлена светлой. Каждая из них называется углом со сторонами ОА и ОБ и вершиной О; таким образом, углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Не исключено, что оба луча лежат на одной прямой, продолжая друг друга (рис. 144) или сливаясь (рис. 145).

Рис. 143.

Рис. 144.

Рис. 145.

Рис. 146.

В первом случае каждый из углов, образуемый ими, совпадает с полуплоскостью и получает название развернутого угла. Во втором случае один из углов исчезает (сводится к лучу) и называется в силу этого нулевым углом, второй же имеет название полного угла — он занимает всю плоскость.

Из двух углов на рис. 143 один (заштрихованный) содержится в развернутом угле, образованном одной из сторон (например, ОА) и ее продолжением ОА.

В дальнейшем, если не оговорено противное, под углом между лучами ОА и ОВ, обозначенным АОВ или, короче, , понимают тот из углов, который содержится в развернутом угле, т. е. например, заштрихованный угол на рис. 143. Любой отрезок PQ, соединяющий точки на сторонах угла, целиком принадлежит этому углу.

Луч, исходящий из точки М на границе полуплоскости (рис. 146) и лежащий в этой полуплоскости, разбивает её на два угла: Такие два угла называются смежными. Они имеют общую сторону MN, другие же их стороны продолжают друг друга.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и CD (рис. 147). Они разбивают плоскость на четыре области: I, II, III, IV. Каждая из этих областей называется углом, образованным прямыми АВ и CD.

Говоря точнее, угол I образован лучами ОВ и угол - лучами ОА и угол - лучами ОА и ОС и угол IV - лучами ОС и ОВ. При этом углы I и III (или II и IV), стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами. Иначе можно сказать, что вертикальные углы — это углы, смежные с одним и тем же углом.

Под углом АОВ между двумя отрезками ОА и ОВ с общим началом О понимается угол, образованный лучами О А и ОВ с одной и той же вершиной, содержащими данные отрезки (рис, 148).

Рис. 147.

Рис. 148.

Мы обозначаем углы указанием их сторон: и т. д., или, если исключены недоразумения, одной буквой — наименованием вершины угла: и т. д., или специальной буквой (греческой строчной из первой половины алфавита): или, наконец, курсивной цифрой:

Ломаная линия. Многоугольник. Рассмотрим несколько отрезков, например АВ, ВС, CD, DE, EF, расположенных так, что начало каждого последующего отрезка помещается в конце предыдущего (рис. 149, а); фигура, образованная такими отрезками, называется ломаной линией, отрезки же ее звеньями или сторонами.

Рис. 149.

Рис. 150.

Обычно подразумевается, что два соседних отрезка не лежат на одной прямой. Если начало первого отрезка совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой (рис. 149, б).

Замкнутая ломаная, состоящая из звеньев, называется -угольником. На рис. 150 приведены примеры треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника.

Продлим стороны многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от любой из прямых, на которых лежат его стороны.

На рис. 150 треугольник и пятиугольник выпуклые, а четырехугольник и шестиугольник нет. Ясно, что всякий треугольник выпуклый. В курсе геометрии мы будем изучать треугольники и некоторые виды четырехугольников и многоугольников; при этом всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, под многоугольником понимается выпуклый многоугольник.

Рис. 151.

Всякий многоугольник разбивает плоскость на две области: внешнюю и внутреннюю; часто под словом «многоугольник» приходится понимать также часть плоскости, ограниченную данной замкнутой линиер, включая и эту границу. Так, треугольником можно назвать и проволочную фигуру (рис. 151, а), и пластинку (рис. 151, б).

Незамкнутую ломаную ABCD мы назовем выпуклой, если при дополнении ее до многоугольника ABCD присоединением замыкающего звена DA получается выпуклый многоугольник, как, например, для ломаной на рис. 152, а.

Рис. 152.

Это определение исключает из числа выпуклых ломаных «спиральную» ломаную на рис. 152, б.

Отдельные отрезки (звенья), образующие многоугольник, называются его сторонами, концы этих отрезков — вершинами многоугольника. Внутренними углами многоугольника называются углы, образованные парами его сторон, исходящими из общей вершины.

Выпуклый многоугольник целиком принадлежит каждому из своих внутренних углов, как показано для угла А на рис. 153. Ясно, что -угольник имеет «сторон и столько же вершин. Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются его внешними углами. На рис. 153 показаны внешние углы четырехугольника.

Рис. 153.