67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными.

В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел записанных в виде квадратной таблицы (матрицы) по два в строках и по два в столбцах. Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число , обозначаемое так:

Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами, при этом говорят, что элементы составляют главную диагональ определителя, а элементы — его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях.

Пример 1. Вычислить следующие определители второго порядка:

Решение, а) По определению имеем

д) имеем

С помощью определителей можно равенства (66.6), (66.7) и (66.8) переписать, поменяв местами их части, так:

Заметим, что определители весьма просто составляются по коэффициентам системы (66.2).

Действительно, определитель составляется из коэффициентов при неизвестных в этой системе. Он называется главным определителем системы (66.2). Назовем определителями для неизвестных х и у соответственно. Можно сформулировать следующее правило их составления: определитель для каждой из неизвестных получается из главного определителя, если в нем столбец коэффициентов при этой неизвестной заменить столбцом свободных членов (взятых из правых частей уравнений системы).

Пример 2. Систему (66.12) решить с помощью определителей.

Решение. Составляем и вычисляем главный определитель данной системы:

Теперь в нем заменим столбец коэффициентов при х (первый столбец) свободными членами. Получим определитель для х:

Подобным же образом найдем

Отсюда по формулам (66.11) получаем

Мы пришли к уже известному нам решению (1, —1).

Проведем теперь исследование системы линейных уравнений (66.2). Для этого вернемся к равенствам (66.9) и (66.10) и будем различать два случая:

Пусть Тогда, как уже отмечалось, формулы (66.11) дают единственное решение системы (66.2). Итак, если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое формулами (66.11); такая система называется определенной.

2) Пусть теперь . В зависимости от значений будем различать два случая.

а) Хотя бы один из определителей отличен от нуля; тогда система (66.2) не имеет решений. Действительно, пусть, например, . Равенство (66.9) не может удовлетворяться ни при каком значении так как это равенство получено как следствие системы (66.2), то система не имеет решений. Такая система называется несовместной.

б) Оба определителя равны нулю; равенства (66.9) и (66.10) удовлетворяются тождественно и для исследования системы (66.2) использованы быть не могут.

Докажем, что если и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе (66.2) отличен от нуля, то система имеет бесконечнее множество решений. Чтобы убедиться в этом, допустим, например, что . Из соотношений

получим

и из записи второго уравнения системы (66.2), подставляя в него выражения коэффициентов

или

найдем, что оно отличается от первого уравнения лишь множителем т. е., по существу, совпадает с ним (равносильно ему). Система (66.2) сводится к одному лишь первому уравнению и определяет бесчисленное множество решений (такая система называется неопределенной). Возможен, в принципе, и такой крайний случай, как равенство нулю всех коэффициентов при неизвестных (он может встретиться при исследовании систем с буквенными коэффициентами). У такой системы

все определители равны нулю: однако, она является несовместной при или .

Подведем итоги исследования системы линейных уравнений (66.2). Имеется три вида таких систем:

1) Если , то система определенная, имеет единственное решение (66.11).

2) Если , но то система несовместна, решений не имеет.

3) Если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля), то система неопределенная, имеет бесконечное множество решений (сводится к одному уравнению).

Равенство нулю определителя,

означает пропорциональность элементов, стоящих в его строках (и обратно):

В силу этого признаки, отличающие линейные системы разных типов (определенные, неопределенные, несовместные), могут быть сформулированы в терминах пропорций между коэффициентами системы (без привлечения определителей).

Условие заменяется поэтому требованием пропорциональности (непропорциональности) коэффициентов при неизвестных:

В случае оказываются пропорциональными не только коэффициенты при неизвестных, но и свободные члены:

(эти пропорции получаются, например, из (67.6)). Если же, например, ДО, то из (66.6) видим, что — свободные члены не пропорциональны коэффициентам при неизвестных. Итак:

1) Если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:

то система определенная.

2) Если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны:

то система несовместная.

3) Если пропорциональны коэффициенты при неизвестных и свободные члены:

то система неопределенная.

Проведенное исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными допускает простое геометрическое истолкование. Всякое линейное уравнение вида (38.4) определяет на координатной плоскости прямую линию. Уравнения системы (66.2) можно поэтому истолковать как уравнения двух прямых на плоскости, а задачу решения системы — как задачу об отыскании точки пересечения этих прямых.

Ясно, что возможны три случая: 1) данные две прямые пересекаются (рис. 61, а); этот случай отвечает определенной системе; 2) данные две прямые параллельны (рис. 61, б); этот случай соответствует несовместной системе;

Рис. 61

3) данные прямые совпадают (рис. 61, в); этот случай соответствует неопределенной системе: каждая точка «дважды заданной» прямой будет решением системы.

Пример 3. Исследовать линейные системы:

Решение, а) Составим и вычислим главный определитель данной системы:

Далее вычисляем :

Система не имеет решений; она несовместна.

Этот же вывод можно сделать не прибегая к определителям. Замечаем, что в данной системе коэффициенты при х и у пропорциональны, а свободные члены не находятся в том же отношении, что и коэффициенты при неизвестных:

б) Имеем

Далее,

Система имеет бесконечно много решений.

Можно прийти к этому выводу и без определителей, если заметить, что все коэффициенты системы пропорциональны; умножением на 5 первое уравнение приводится ко второму — система фактически состоит из одного уравнения.

Пример 4. Исследовать систему

Решение. Коэффициенты системы зависят от параметра а; исследовать систему — это значит указать, при каких значениях а система будет, соответственно, определенной, неопределенной, несовместной.

Начинаем с вычисления главного определителя:

Главный определитель отличен от нуля при всех значениях а, не равных 0 и 3. Следовательно, система будет определенной (т. е. иметь единственное решение) при .

Исследуем теперь особые значения а; пусть сначала система при этом принимает вид (мы подставляем в уравнения (67.7))

и оказывается несовместной.

Остается еще рассмотреть случай при система (67.7) принимает вид

и сводится, по существу, к одному уравнению. Система неопределенная, ей удовлетворяют все точки прямой Выразив отсюда у через запишем все множество решений в виде , где может принимать произвольное значение.

Формулируем ответ: при а=0 система несовместная, при неопределенная, при всех остальных значениях — определенная.