172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.

Рассмотрим пару параллельных прямых АВ и CD и какую-либо прямую , не параллельную им (рис. 188). Прямая образует с каждой из параллельных прямых 4 угла, обозначенные на рисунке 1, 2, 3, 4 и 1, 2, 3, 4.

Рис. 188.

Рис. 189.

При этом парам указанных углов даются следующие наименования.

Углы 1 и 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4 называются соответственными; 1 и 3, 2 и - внутренними накрест лежащими; 3 и 1', 4 и - внешними накрест лежащими. Углы 1 и 4, 2 и 3 называются внутренними односторонними; 4 и 1, 3 и 2 - внешними односторонними. Между этими парами углов имеются следующие соотношения:

1. Соответственные углы равны: и т.д.

2. Внутренние накрест лежащие углы равны:

Внешние накрест лежащие углы равны:

Односторонние (внутренние или внешние) углы в сумме составляют два прямых: и т. д.

Из указанных соотношений достаточно доказать какое-либо одно, так как остальные вытекают из него. Так, например, если то легко видеть, что Действительно, из имеем

Остановимся на доказательстве одного лишь соотношения (равенство внутренних накрест лежащих углов).

Возьмем середину С отрезка АВ секущей (рис. 189) и проведем через нее перпендикуляр к нашим параллельным (мы знаем, что перпендикуляр к любой из них будет и перпендикуляром к другой). Через ту же середину С отрезка АВ проведем прямую с, параллельную данным прямым а и значит, также перпендикулярную к . Перегнем рис. 189 по перпендикуляру п. Тогда наклонная СВ займет положение СВ, причем так как прямая b, будучи перпендикулярной к линии сгиба, совместится со своим продолжением. Если же мы теперь вновь перегнем чертеж по линии с, то треугольник CLB весь совместится с треугольником С К А. Действительно, CL пойдет по в силу перпендикулярности СВ пойдет по С А в виду равенства углов BCL и , точки В и А совместятся вследствие равенства отрезков СВ и СА и прямая b совпадает с прямой а, так как обе перпендикулярны к ; таким образом, угол CBL совместится с углом САК и равенства покажут нам, что .

Рис. 190.

Любое из указанных равенств между углами, образованными секущей при двух прямых, в свою очередь повлечет за собой параллельность прямых. Пусть, например, при пересечении двух прямых а и b (на рис. 190 они условно изображены как непараллельные) третьей прямой углы 1 и 1 получились равные.

Проведем через точку М пересечения прямых прямую параллельную b. Она должна также образовать с угол, равный 1, и потому совпадет с а, т. е. прямая а параллельна b.

Остальные случаи рекомендуется разобрать читателю.