147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.

Допустим что функции sinx и cosx входят в тригонометрическое уравнение только рационально. Такие тригонометрические уравнения назовем рациональными тригонометрическими уравнениями (см. п. 37). Если все члены такого уравнения перенесены в его левую часть, то в общем виде его можно записать так:

где - символ совокупности рациональных операций, которые нужно произвести над sinx и cosx.

Приведем примеры рациональных тригонометрических уравнений, а также тригонометрических уравнений, которые таковыми не являются.

1) Уравнение

является рациональным тригонометрическим уравнением, так как

2) Уравнение

не является рациональным тригонометрическим уравнением, ибо в число операций, которые производятся над тригонометрическими функциями, содержащими аргумент входит не рациональная операция — извлечение кубического корня.

3) Уравнение

является рациональным тригонометрическим уравнением.

4) Уравнение

не является рациональным тригонометрическим уравнением, ибо в число операций, которые производятся над тригонометрическими функциями, содержащими аргумент х, входят не рациональные операции — операция взятия синуса от и операция взятия косинуса от .

Теорема. Рациональное уравнение

с помощью тригонометрической подстановки

приводится к рациональному уравнению

относительно новой неизвестной t.

Доказательство. Имеем уравнение Введем новую неизвестную t с помощью подстановки tg (х/2) = t. Согласно формулам п. 122 имеем

Подставив эти выражения в (147.1), получим

Обозначив через новую совокупность всех рациональных операций, которые нужно проделать теперь уже над t, мы придем к уравнению

Подстановку обычно называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Следует заметить, что указанный выше общий способ не всегда является самым лучшим, ибо при решении уравнения относительно новой неизвестной t могут встретиться технические трудности ничуть не меньшие тех, которые стояли при решении уравнения (147.1), Рекомендуется сначала поискать какой-либо специальный прием решения, который применим к данному конкретному уравнению, и если такой прием не удается найти, то следует применить общий способ.

Заметим, что, применяя общий способ — подстановку мы исключаем из рассмотрения те значения неизвестной при которых не имеет смысла, т. е. значения но эти значения могут являться корнями первоначального рационального тригонометрического уравнения. Поэтому при решении рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки нужно обязательно проверить, не являются ли значения корнями первоначального уравнения (147.1).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сделав универсальную подстановку получим . Подставив значение cosa: в уравнение придем к рациональному относительно t уравнению Решив последнее уравнение, будем иметь

Приходим к двум уравнениям:

Первое уравнение имеет корни

Второе уравнение имеет корни

Заметим, что значения не являются корнями данного уравнения (147.5). Итак, уравнение (147.5) имеет следующие серии решений:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. С помощью универсальной подстановки получим уравнение, рациональное относительно

откуда

Общее решение последнего уравнения имеет вид

Проверим теперь, не являются ли значения корнями первоначального уравнения (147.6). (Напомним, что при этих значениях теряет смысл функция Подставив в уравнение (147.6), получим

Следовательно, значения являются корнями уравнения (147.6).

Итак, решениями уравнения (147.6) являются

Упражнения

Решить уравнения:

Решить уравнения с помощью универсальной тригонометрической подстановки