175. Свойство биссектрисы угла.

Рассмотрим угол АОС (рис. 194) и его биссектрису ON; ясно, что биссектриса этого угла также будет и биссектрисой вертикального угла BOD. Если перегнуть рис. 194 по биссектрисе ON, то вследствие равенства углов CON и луч ОС совместится с лучом О А. Итак, биссектриса угла является его осью симметрии (и даже осью симметрии пары вертикальных углов).

Опустим из какой-либо точки К биссектрисы ON перпендикуляры KQ и КР на стороны угла; при указанном выше совмещении ОС и ОА эти перпендикуляры совпадут. Таким образом, видно, что все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.

Точно так же и точки биссектрисы ОМ смежного угла СОВ (и угла AOD) равноудалены от сторон углов. Легко видеть, что точка S, не лежащая ни на одной из биссектрис ON и ОМ, не может быть равноудалена от сторон углов; поэтому геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, образовано двумя биссектрисами углов между этими прямыми. Напомним, что эти биссектрисы взаимно перпендикулярны.

Полезно вернуться к рис. 184, где мы рассматривали пары равных наклонных и перпендикуляр, проведенный к отрезку в его середине, и отметить, что перпендикуляр служит биссектрисой угла между равными наклонными.