246. Правильные многогранники.

Многогранник называется правильным, если все его грани суть равные правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.

Правильные многогранники известны с глубокой древности. Замечательно, что имеется всего пять видов правильных многогранников. На первый взгляд это кажется неожиданным, - но к этому выводу можно прийти путем несложных рассуждений. В самом деле, выясним, из каких многоугольников можно составить поверхность правильного многогранника. В каждой вершине должно сходиться, очевидно, не менее трех граней. Но сумма плоских углов при вершине многогранного угла не более четырех прямых. Следовательно, угол при вершине правильного многоугольника, служащего гранью многогранника, должен быть не больше . Таким свойством обладают правильный треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Только из этих трех видов многоугольников можно образовать поверхности правильных многогранников. В то же время ограничивается и число граней, сходящихся в одной вершине: снова учитываем сумму плоских углов. В случае треугольных граней в вершине могут сходиться:

в случае четырехугольных граней (квадратов) — только

в случае пятиугольных граней —

Каждая из пяти возможностей действительно реализуется, имеется соответствующий тип правильного многогранника и с точностью до подобия только один. Мы ограничимся тем, что приведем изображение и краткое описание каждого из пяти типов правильных многогранников.

1. Правильный тетраэдр (рис. 362). Он представляет собой правильную треугольную пирамиду, боковые грани которой равны основанию.

Поверхность его образована правильными треугольниками, в каждой вершине сходятся три таких треугольника.

2. Правильный октаэдр (восьмигранник). Грани — правильные треугольники, число граней, сходящихся в одной вершине, равно четырем (рис. 363).

Рис. 362.

Рис. 363.

Рис. 364.

Правильный октаэдр можно построить так: следует сначала построить правильную четырехугольную пирамиду (см. п. 252) с гранями в виде равносторонних треугольников, затем отразить ее в плоскости основания и плоскость основания (перегородку между двумя пирамидами) убрать. Тогда и получится правильный октаэдр.

3. Грани треугольные, в вершнне сходятся пять граней (рис. 364). Можно доказать, что и такой тип правильного многогранника существует. Он имеет двадцать граней и называется икосаэдром.

4. Грани — квадраты, в вершине сходятся по три грани. Правильный многогранник называется кубом (рис. 365).

Рис. 365.

Рис. 366.

Рис. 367.

5. Грани — правильные пятиугольники (рис. 366). В вершине сходятся по три грани. Общее число граней — двенадцать. Многогранник называется додекаэдром (двенадцатигранником).

Задача. Найти двугранные углы при ребрах правильных многогранников.

Решение. Решение очевидно для куба — углы при ребрах прямые. Разберем два случая: правильный октаэдр и правильный икосаэдр.

1) Начнем со случая октаэдра (рис. 367). Проведем сечение через противоположные вершины А и F, перпендикулярное к ребрам ВС и DE. При вершине М сечения получим искомый угол при ребре DE. Если ребро октаэдра равно а, то имеем и для косинуса половины искомого угла имеем

Отсюда и, наконец, косинус искомого угла минус показывает, что угол тупой).

2) Рассмотрим случай икосаэдра. Пять правильных треугольников, примыкающих к одной вершине, образуют правильную пятиугольную пирамиду с боковыми гранями в форме правильных треугольников (см. п. 252). Рассмотрим эту пирамиду на отдельном чертеже (рис. 368) и проведем через вершины основания А и С секущую плоскость перпендикулярно к боковому ребру

Рис. 368.

В сечении получим треугольник АКС, угол и будет искомый. Из правильного пятиугольника в основании пирамиды находим (а — ребро нашего икосаэдра) , в равнобедренном треугольнике АСК имеем

откуда значение можно взять из таблиц или использовать выражение

Два оставшихся случая читатель разберет самостоятельно.

Упражнения

1. Проверить формулу для всех правильных многогранников.

2. Вершинами какого правильного многогранника служат центры граней куба? Тетраэдра? Октаэдра?

3. Найти угол наклона ребра правильного тетраэдра к плоскости грани, не содержащей этого ребра.