96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов.

Назовем вращение подвижного радиуса-вектора в направлении против движения часовой стрелки положительным, а в противоположном направлении (в направлении по движению часовой стрелки) отрицательным. Угол, описанный при отрицательном вращении подвижного радиуса-вектора, назовем отрицательным углом.

Правило. Угол измеряется положительным числом, если он положительный, и отрицательным числом, если он отрицательный.

Пример 1. На рис. 80 изображены два угла с общей начальной стороной ОА и общей конечной стороной OD: один равен +270°, другой —90°.

Сумма двух углов. На координатной плоскости Оху рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 81).

Пусть произвольный угол а (на чертеже положительный) получен в результате вращения некоторота подвижного радиуса-вектора от его начального положения ОА, совпадающего с положительным направлением оси Ох, до его конечного положения .

Рис. 80.

Рис. 81.

Рис. 82.

Примем теперь положение радиуса-вектора ОЕ за начальное и отложим от него произвольный угол (на чертеже положительный), который получим в результате вращения некоторого подвижного радиуса-вектора от его начального положения ОЕ до его конечного положения ОС. В результате этих действий мы получим угол, который будем называть суммой углов а и . (Начальное положение подвижного радиуса-вектора ОА, конечное положение радиуса-вектора ОС.)

Разность двух углов.

Под разностью двух углов а и , которую обозначим мы будем понимать такой третий угол у, который в сумме с углом дает угол а, т. е. если Разность двух углов можно трактовать как сумму углов а и . В самом деле, Вообще, для любых углов их сумма измеряется алгебраической суммой действительных чисел, измеряющих эти углы.

Пример 2. тогда .

Пример 3. Угол , а угол . Сумма их .

В формуле (95.1) предполагалось, что - любое целое неотрицательное число. Если же предположить, что — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль), то при помощи формулы

где можно будет записать любой угол, как положительный, так и отрицательный.

Рис. 83.

Пример 4. Угол, равный —1370°, можно записать так:

Здесь

Заметим, что все углы записанные при помощи формулы (96.1), при разных значениях , но одном и том же а, имеют общие начальную (ОА) и конечную (ОЕ) стороны (рис. 79). Поэтому построение любого угла сводится к построению соответствующего неотрицательного угла меньшего 360°. На рис. 79 углы между собой не отличаются, они различаются лишь процессом вращения радиуса-вектора, который привел к их образованию.

Упражнения

1. Углом какой четверти является угол, равный:

2. Углом какой четверти является угол, равный:

3. Представить угол в виде , где число, а а удовлетворяет условию если: