§ 2. Решение неравенств

76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства.

Будем рассматривать строгие или нестрогие неравенства вида

или

соответственно. Всякое числовое значение из области допустимых значений называется решением неравенства (76.1) или (76.2), если при подстановке этого значения в обе части неравенства получается верное числовое неравенство. Вообще говоря, неравенство может иметь различные решения (часто их бывает бесконечно много). Все решения неравенства образуют множество его решений (иногда называемое также областью его решений). Так, неравенство имеет в качестве своего множества решений открытый интервал а неравенство отрезок Иногда, краткости ради, мы допускаем вольность речи и говорим, что решением неравенства служит интервал (-1, 1); в этом случае слово «решение» имеет смысл «множество решений».

В зависимости от своего конкретного вида неравенство может вообще не иметь решений (его множество решений пусто) или иметь множество решений самого различного вида (открытый интервал, отрезок, бесконечный интервал и т. д.). В любом случае решить неравенство — значит указать все множество его решений. В частности, неравенство может выполняться для всех (допустимых) значений х.

Из двух неравенств

и

второе называется следствием первого, если множество решений второго неравенства содержит в себе множество решений первого неравенства. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества решений совпадают. Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений (п. 54). Как и для уравнений, можно было бы сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть прибавление к обеим частям неравенства одинакового слагаемого (и, как следствие, перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую) и умножение обеих частей неравенства на положительное число или положительную функцию.

Возможно также деление членов неравенства на положительную функцию и т. д. Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе равносильность неравенств может быть нарушена.

Пример. Из двух неравенств

второе является следствием первого, но они не равносильны. Неравенства же равносильны.

Соблюдение требования равносильности преобразований неравенства, выполняемых в процессе его решения, важней соблюдения соответствующего требования для уравнений. Действительно, можно не опасаться появления посторонних корней при решении уравнений, так как последующая проверка подстановкой в исходное уравнение позволяет их отбросить. Для неравенства характерно наличие бесконечного множества решений, и поэтому проверка их подстановкой в неравенство практически невозможна. По этой же причине и отыскание о.д.з. для решаемого неравенства является необходимой составной частью процесса решения.