§ 3. Преобразование графиков

44. Параллельный сдвиг графика.

Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. Так, если известен график функции то можно построить графики функций вида

1) Построение графика функции (сдвиг графика в направлении оси ординат). Вспомним, что график линейной функции у получался из графика функции сдвигом на единиц (вверх или вниз, смотря по знаку b) в направлении оси Оу (см. рис. 25).

Рис. 39.

Рис. 40.

Точно так же ясно, что ординаты графика функции получаются из ординат графика функции прибавлением постоянного слагаемого р, т. е. для получения графика надо весь график переместить параллельно оси на единиц вверх или вниз, смотря по знаку (рис. 39).

2) Построение графика функции (сдвиг графика в направлении оси абсцисс). Пусть по графику функции нужно построить график функции Эту задачу можно решить переносом графика функции на единиц масштаба влево, если и вправо, если а < 0 (рис. 40).

Поясним это на следующем примере. Рассмотрим функцию у и сравним ее график с графиком функции Одни и те же ординаты мы получим, если для функции будем брать абсциссы на единицу меньшие, чем для Абсциссы всех точек графика следует уменьшить на единицу, т. е. сдвинуть график влево на одну единицу масштаба (рис. 41, а).

По таким же соображениям видно, что график функции получится из графика функции сдвигом на две единицы вправо (рис. 41,б).

Оба сдвига — в направлении осей могут применяться одновременно.

Рис. 41.

Так, для построения графика функции следует график функции снести на две единицы вдоль оси Ох вправо и на одну единицу вдоль оси вниз (рис. 41, б).

Пример. Построить графики функций:

Рис. 42.

Решение, а) График функции получится из известного графика функции (рис. 30) сдвигом на две единицы влево- и на одну единицу вверх (рис. 42, а).

6) Решение понятно из рис. 42, б. Область определения функции здесь — бесконечный интервал .

В некоторых случаях вместо сдвига графика пользуются переносом начала координат (п. 8, рис. 6). Покажем, как это делается, на примере функции график которой уже был показан на рис. 41, в.

Возьмем точку О (вершину параболы) с координатами (2, —1) (рис. 43) и перенесем в нее начало координат; при этом связь между старыми и новыми координатами по формулам (8.1) будет такая: . В новых координатных осях уравнение параболы примет простейший вид парабола строится уже по ее новому уравнению непосредственно относительно новой системы координат.

Рис. 43.