145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента.

1) Рассмотрим уравнение типа

где а, b и с — какие-то действительные числа. Изучим случай, когда . Разделив обе части уравнения (145.1) на придем к следующему уравнению, содержащему только :

Заметим, что уравнения (145.1) и (145.2) будут равносильны, ибо мы предполагаем, что значения при которых не являются корнями уравнения (145.1) при Далее следует найти значения из уравнения (145.2) и, если они окажутся действительными, отыскать соответствующие серии решений

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на . (Те значения х, при которых не являются корнями данного уравнения, ибо при этом , следовательно, потери корней не происходит.) Получим уравнение откуда

Ответ. , где .

Замечание. Уравнение типа

где , сводится к уравнению типа (145.1), если его записать сначала так:

а потом так:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем данное уравнение так:

После этого будем иметь

Разделим обе части последнего уравнения на значения для которых не являются корнями данного уравнения.) Получим уравнение

откуда Решив последние уравнения, получим решения первоначального уравнения:

2) Рассмотрим уравнение типа

где а, b и с — какие-то действительные числа.

Пусть . Заменив через мы придем к уравнению

или

Из уравнения (145.6) находим возможные значения для естественно, что они будут иметь смысл лишь в случае Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Заменяя через придем к уравнению откуда Уравнение имеет решение а уравнение решение Совокупность значений t и является решением данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Заменив через придем к уравнению

откуда Последнее уравнение не имеет решений, ибо не выполнено условие Мы получаем одну серию решений данного уравнения:

Рассмотрим уравнение типа

где а, b и с — какие-то действительные числа. В общем виде рекомендуем читателю рассмотреть его решение самостоятельно. Мы же ограничимся рассмотрением примеров.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Заменив через придем к уравнению

откуда Оба последних уравнения имеют соответственно решения Совокупность значений и 2 является множеством всех решений данного уравнения.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Заменив через придем к уравнению

откуда

Последнее уравнение не имеет решения, ибо не выполнено условие Мы получаем одну серию решений первоначального уравнения:

Рассмотрим уравнение типа

где

Деля обе части уравнения на получим

Следовательно,

где . Заметим, что, предположив мы не потеряли корней, ибо если , то . Пример 7. Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на , получим , откуда

Если в уравнение входят тригонометрические функции от различных аргументов, то и в этом случае иногда представляется возможным выразить их через одну тригонометрическую функцию одного и того же аргумента.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Заменив через придем к уравнению

откуда

Следовательно, и

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Заменив через , придем к уравнению или . Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни

Второе уравнение после деления на дает , откуда .

Решениями первоначального уравнения и будут значения . Заметим, что в нашем случае деление обеих частей уравнения б) на sinx не привело к потере корней, ибо те значения х, при которых sinx обращается в нуль, не являются корнями первоначального уравнения.

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на 2 и, заменив 2 sinx cos х на sin2x, получим . С последним уравнением поступим опять так же, получим откуда Окончательно имеем

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Заметим, что

Подставив найденное значение для в исходное уравнение, получим Далее имеем Последнее уравнение распадается на два:

Первое уравнение имеет корни .

Второе уравнение запишем в виде . Приравняв нулю числитель , получим корни второго уравнения: