Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ)

§ 1. Векторы. Обобщение понятий угла и дуги

93. Вектор, проекция вектора.

Вектором называется направленный отрезок в плоскости (в пространстве). При изучении тригонометрических функций мы будем рассматривать векторы в плоскости. С каждым вектором связывают понятия направления и длины (абсолютной величины, модуля).

Для вектора (рис. 73) применяются следующие обозначения: , где А — начало вектора, а В — его конец.

Рис. 73.

Рис. 74.

Длина отрезка АВ называется длиной вектора АВ (его абсолютной величиной, модулем) и обозначается так: АВ или

Для общности рассматривается и случай нулевого отрезка А А, начало которого совпадает с его концом. Такой отрезок называется нулевым вектором и обозначается через 0. Нулевой вектор имеет длину, равную нулю; ему не приписывается никакого направления.

Следует заметить, что всегда причем тогда и только тогда, когда нулевой вектор.

Для векторов не имеют смысла понятия «больше» или «меньше». Можно только говорить, что длина вектора АВ больше длины вектора CD, и писать:

Два вектора а и b называются равными, если они:

1) параллельны одной и той же прямой,

2) одинаково направлены,

3) имеют равные длины, т. е. (рис. 74).

Совокупность векторов с указанным выше определением равенства обычно называют системой свободных векторов. Термин «свободный вектор» связан с тем, что теперь один и тот же вектор может быть изображен направленным отрезком с началом в любой точке: его можно свободно переносить из точки в точку.

Каждому вектору АВ можно поставить в соответствие лежащий на заданной оси вектор где точки соответственно — проекции на ось точек А и В (рис. 75).

Рис. 75.

Рис. 76.

Проекцией вектора АВ на ось называется длина вектора взятая со знаком плюс, если направление вектора АХВХ совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, в противном случае. Итак, проекция вектора АВ на ось есть по определению число (не вектор!). Условимся проекцию вектора АВ на ось OL обозначать так: Возможны следующие случаи: а) (рис. 75), б) (рис. 76), в) (рис. 77).

Рис. 77.

Рис. 78.

Рассмотрим теперь совокупность векторов, исходящих из одной точки (начала). Такая совокупность векторов называется центрированной. Примем эту общую точку за начало О декартовой прямоугольной системы координат Оху (см. п. 8).

Определение. Вектор ОМ, имеющий своим началом точку О (начало координат) и своим концом произвольную точку М плоскости, называется радиусом-вектором точки М или подвижным радиусом (рис. 78). Радиус-вектор обозначается и так: т. е. Через х и у обозначим соответственно абсциссу и ординату точки М, а через — длину (модуль) вектора ОМ. Следовательно, . Заметим, что координаты и у точки М являются вместе с тем проекциями ее радиуса-вектора на оси координат.