32. График функции. Способы задания функций.

Для графического представления функции используем декартову прямоугольную систему координат (рис. 12). Каждой точке х оси Ох из области определения функции отвечает значение и, вместе с тем, точка плоскости с координатами при изменении эти точки образуют график функции. Точное определение таково: графиком функции (относительно данной системы координат) называется множество точек плоскости, абсциссами которых служат значения аргумента а ординатами — соответствующие им значения функции y = f(x).

Рис. 12.

Для графика функции изображенного на рис. 12, показаны точки с абсциссами их ординаты соответственно равны График показан на интервале то, что точка исключена, условно показано стрелкой в правом конце кривой линии — графика функции

График функции дает удобное и наглядное представление о ее свойствах, и ниже уделено много внимания методам построения графиков функций.

Определение функции не дает указания на то, в какой форме задан закон соответствия между значениями аргумента и зависимой переменной; практически привычной формой задания этого закона является для нас запись функциональной зависимости в виде некоторой математической формулы, например:

В этом случае говорят, что функция задана аналитическим выражением. При этом термин «аналитическое выражение» имеет приблизительно тот же смысл, что и «алгебраическое выражение», с той разницей, что при записи аналитического выражения не ограничиваются только алгебраическими действиями (т. е. рациональными действиями и операцией извлечения корня), но пользуются, например, такими действиями, как логарифмирование, отыскание синуса или тангенса данного значения аргумента и т. п. Вообще, при определении новой математической операции для нее вводится специальный символ, который в дальнейшем уже можно использовать для записи аналитического выражения.

Для функции, заданной аналитическим выражением, область определения может состоять только из значений входящих в о. д. з. этого выражения. Область определения функции оказывается в этом случае частью области допустимых значений аналитического выражения, задающего функцию, или совпадает с этой областью. Например, площадь S круга, как функция радиуса R, задается выражением Область определения этой функции по смыслу дела есть взятое же само по себе аналитическое выражение определено при всех значениях R. Если функция задана аналитическим выражением относительно аргумента и область определения не указана, то подразумевают, что область определения совпадает с о. д. з. задающего ее выражения.

Иногда функция задается разными аналитическими выражениями в разных частях области определения. Самый простой пример: будем рассматривать как функцию от . Тогда

Можно записать виде . Вообще, одна и та же функция может быть задана различными способами и в разных видах.

Кроме аналитического способа задания применяют графическое и табличное задание функций. Если функция задана графиком, то можно по чертежу находить значения у, отвечающие данным значениям разумеется, приближенно.

Табличный способ задания функции заключается в том, что для избранных значений аргумента обычно отстоящих друг от друга на некоторую постоянную величину — шаг таблицы, указываются соответствующие значения у (с определенной степенью точности). Небольшой фрагмент таблицы может выглядеть так:

В данном примере шаг таблицы равен 0,02.

Графическое и табличное задание функций часто возникает в результате проведения измерений, опытов, применения самопишущих приборов.

Для многих функций, заданных аналитически, также составлены таблицы, облегчающие применение этих функций (таблицы квадратных и кубических корней, таблицы логарифмов, тригонометрических функций и др.).

Необходимо приобрести навыки в пользовании таблицами функций (см. п. 220).

В восемнадцатом и в начале девятнадцатого века математики представляли себе функцию только с точки зрения ее аналитического выражения. Лишь в первой половине девятнадцатого столетия некоторыми математиками, в том числе великим русским ученым Н. И. Лобачевским, было сформулировано современное определение функции: существенным является наличие закона соответствия, а не возможность представить его «формулой». В частности, допускается и словесное описание закона соответствия: например, целая часть определяется как «наибольшее целое число, не превосходящее х».