69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней.

В элементарной математике рассматривают только некоторые простые частные случаи систем уравнений второй или высшей степени. Такова в частности, система вида

Система (69.1) решается, например, таким способом: второе уравнение умножаем на 2 и складываем с первым уравнением; получим уравнение

и сведем решение системы (59.1) к решению пары систем:

решаемых с применением теоремы Виета.

Иначе можно решить систему (69.1), выразив из второго уравнения у через . После подстановки этого выражения в первое уравнение получится биквадратное уравнение для х:

Таким же путем приводится к биквадратному уравнению система вида

и некоторые другие системы уравнений второй степени.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Находим, складывая удвоенное второе уравнение с первым:

Получаем две системы:

решениями которых будут следующие пары значений х и у:

Покажем теперь, как эту систему можно решить сведением ее к биквадратному уравнению. Для этого из второго уравнения найдем

Тогда первое уравнение системы запишем так:

Отсюда

Мы получили биквадратное уравнение относительно из которого найдем значит, соответственно,

Разделив число на каждое из найденных значений получим соответствующие значения у.

Пример 2. Решить систему

Решение. Выражаем у из второго уравнения системы и подставляем в первое:

откуда

Находим два значения . Имеем четыре значения: Соответствующие у определяем из равенства Окончательно решения системы таковы:

К системе типа приводит задача извлечения корня квадратного из комплексного числа, сслн решать чисто алгебраическим методом, не прибегая ктригонометрической форме записи комплексных чисел. Пусть требуется извлечь корень квадратный из числа . Обозначим неизвестный корень через и по определению квадратного корня запишем

или

В силу условия равенства двух комплексных чисел приравниваем отдельно действительные и мнимые члены в обеих частях равенства:

При решении этой системы следует учитывать, что по смыслу задачи х и у — действительные числа (мнимые решения надо отбросить).

Пример 3. Найти

Решение. Обозначим . Тогда

откуда

Находим

и

Используем только положительный корень для :

Итак, искомый корень имеет значения .

Приведем еще примеры систем уравнений высших степеней; при этом ограничимся задачей отыскания их действительных решений.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Первое уравнение системы (69.3) записывается в виде

и дальнейшее решение системы распадается на два случая в зависимости от того, будет ли равно нулю или нет.

1) . Из второго уравнения системы (69.3) находим . Получили два решения системы:

2) ; тогда

или

Заменяя через 10 (по второму уравнению системы (69.3)), придем к системе уравнений

которую решаем уже известным способом. Получим еще решения

Всего данная система имеет шесть решений, все они действительные.

Пр и мер 5. Решить систему уравнений

Решение. Перемножив почленно уравнения системы, найдем , откуда (мы берем только действительный корень этого уравнения). Разделим поочередно каждое из уравнений данной системы на :

Итак, данная система имеет следующее действительное решение:

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. Возведем второе уравнение в квадрат:

Подставим в это уравнение вместо выражение этой суммы, взятое из первого уравнения системы. Получим

откуда

Получилось квадратное уравнение относительно Из него имеем или

Второе уравнение данной системы соответственно можно переписать так: или . Это приводит к двум следующим системам типа (69.1):

Первая из этих систем дает следующие четыре решения: Проверка показывает, что все они удовлетворяют исходной системе.

Вторая система решается аналогично. Ее решения иррациональны, читатель найдет их самостоятельно.

Упражнения

1. Решить систему уравнений

2. Решить систему уравнений

3. Исследовать линейные системы:

4. Решить систему уравнений

5. Решить следующие системы уравнений:

6. Решить систему уравнений

7. Найти действительные решения следующих систем уравнений: