163. Общая мера двух отрезков.

В арифметике изучаются два вида дробей: десятичные и обыкновенные. Изложенный выше метод измерения длины отрезка приводил к выражению этой длины в виде десятичной дроби. При этом не представляется существенным, выражается ли длина измеряемого отрезка рациональным или иррациональным числом. Другой подход к измерению отрезков основан на понятии общей меры двух отрезков и исторически связан с открытием существования иррациональных чисел. При этом понятие общей меры двух отрезков аналогично понятию н. о. д. двух чисел, а сам процесс отыскания общей меры есть алгоритм Евклида (изложенный в п. 4 применительно к задаче отыскания н. о. д.).

Сформулируем определение: общей мерой двух (или нескольких) отрезков называется наибольший из таких отрезков, которые укладываются в каждом из данных целое число раз.

Пусть, например, даны два отрезка АВ и CD. Если найдется такой отрезок, который уложится раз в АВ и раз в CD, то, приняв его за масштабный отрезок, мы выразим длины АВ и CD целыми числами . При любом другом масштабе длины АВ и CD будут находиться в отношении т. е. отношение их будет рациональным. Обратно, если отношение длин двух отрезков рационально, то оно представимо несократимой дробью Тогда отрезок, составляющий долю АВ долю CD), будет общей мерой АВ и CD. Итак, отрезки имеют общую меру тогда и только тогда, когда отношение их рационально. Такие отрезки называются соизмеримыми, отрезки же с иррациональным отношением длин — несоизмеримыми.

Процесс отыскания общей меры двух отрезков проводится так: меньший из двух отрезков укладывается на большем столько раз, сколько он в нем поместится; если остатка не образовалось, то меньший отрезок сам служит общей мерой данной пары отрезков. Если имеется остаток КО, то, коль скоро общая мера данных отрезков существует, она будет общей мерой отрезка АВ и этого остатка. Поэтому остаток укладываем в АВ возможно большее число раз, новый остаток — в прежнем и т.д. Если после конечного числа шагов предыдущий остаток разделится на последующий, то этот последний остаток и будет общей мерой А В и

Пример. Найти общую меру данных двух отрезков АВ и CD (рис. 166).

Решение. Отрезок АВ уложился в CD два раза. Остаток MD уложился в АВ ровно пять раз. Таким образом, этот остаток содержится в АВ пять раз, а в CD — одиннадцать.

Данные два отрезка соизмеримы, их общей мерой служит отрезок MD, а длины относятся, как 5:11.

В случае несоизмеримых отрезков процесс отыскания общей меры не может привести к результату и продолжается бесконечно.

Приведем пример пары отрезков, для которых алгоритм Евклида продолжается бесконечно. Рассмотрим для этой цели равнобедренный треугольник ABC (рис. 167) с острым углом при основании, равным 36°, докажем несоизмеримость его основания и боковой стороны.

Рис. 166.

Рис. 167,

Тупой угол при вершине будет равен 108°, так как сумма углов всякого треугольника равна 180° (см. п. 184). Его основание АС больше боковой стороны АВ, но меньше удвоенной боковой стороны: (любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, п. 184). Поэтому сторона АВ уложится на АС один раз и останется остаток МС. Заметим, что углы АМВ и АВМ равны , и потому угол МВС содержит Значит, в треугольнике С MB углы при вершинах В и С равны 36° и треугольник СМ В равнобедренный, в точности с теми же углами, что и исходный. В соответствии с порядком действий при определении общей меры двух отрезков нам следует теперь отрезок МС откладывать на Ввиду того, что к треугольнику СМВ применимы те же рассуждения, что и к исходному, МС уложится на ВС один раз и вновь образуется остаток; так как мы все время будем приходить к треугольникам с теми же углами (подобным данному, см. п. 207), то процесс будет продолжаться бесконечно.

Рис. 168.

Другим известным примером пары несоизмеримых отрезков служит диагональ квадрата и его сторона.