221. Решение треугольников. Сводка основных формул.

На протяжении этого и следующих пп. 222 и 223 будем придерживаться следующих стандартных обозначений элементов треугольника: стороны обозначаются через а, b, с; противолежащие им углы через А, В, С (т. е. теми же буквами, что соответствующие вершины); высоты через радиусы вписанной и описанной окружностей через и R соответственно; площадь треугольника обозначаем, как обычно S. Основными элементами треугольника называем его стороны и углы.

Задание некоторых из основных элементов треугольника определяет все остальные его элементы (в том числе и основные). Под решением треугольника понимают отыскание его элементов (обычно лишь основных) по заданным. Для косоугольных треугольников основными являются следующие четыре задачи; 1) даны сторона и два угла; II) даны две стороны и угол, заключенный между ними; III) даны две стороны и угол, лежащий против одной из них; IV) даны три стороны; требуется определить остальные основные элементы треугольника.

В простейшем случае прямоугольного треугольника задание одного острого угла определяет и второй. Поэтому для прямоугольных треугольников удобно классифицировать основные задачи несколько иначе: 1) даны гипотенуза и острый угол; II) даны катет и острый угол; III) даны гипотенуза и катет; IV) даны два катета; требуется найти остальные основные элементы треугольника.

При решении треугольников используются различные соотношения между элементами треугольника, полученные в пп. 216—219 (в первую очередь теорема косинусов и теорема синусов), и некоторые другие, которые легко из них получаются.

Для удобства читателя дадим здесь сводку формул, применяемых ниже при решении треугольников.

I. Теорема косинусов

II. Теорема синусов

Теорему синусов также полезно записывать в такой форме:

(стороны относятся, как синусы противолежащих углов).

III. Теорема тангенсов:

Приводим вывод формулы (221.4). Из (221.2) имеем

В, откуда

и

Разделив почленно последние равенства, получим

IV. Формулы для площади треугольн

(формула (221.7) чаще используется для вычисления ),

(эта формула чаще применяется для отыскания ),

Кроме того, бывает полезна формула

Для ее вывода заметим, что по теореме синусов

Подставив эти выражения в (221,9), получим формулу (221.10).

Для прямоугольных треугольников помимо соотношений между элементами, указанных выше, имеются известные нам более простые соотношения, которые обычно и используются при решении прямоугольных треугольников. Напомним их (гипотенуза обозначена через с):