§ 3. Двугранные и многогранные углы
241. Двугранный угол.
Две пересекающиеся плоскости разбивают пространство на четыре части. Каждая из этих частей носит название двугранного угла, образованного этими плоскостями. Точнее, двугранным углом называется часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, границей каждой из которых служит их общая прямая.
Плоскости (полуплоскости) называются гранями, линия их пересечения — ребром двугранного угла. Для двугранных углов обычным образом определяются понятия равенства, неравенства (больше, меньше), сложения и вычитания. Говорят о смежных и вертикальных углах, полном, развернутом и прямом двугранных углах; понятию биссектрисы угла между прямыми аналогично понятие биссекторной плоскости, разбивающей каждый из двух вертикальных двугранных углов на две равные части. Приняв полный двугранный угол за 360°, нетрудно будет осуществить измерение двугранных углов в градусной мере.
Удобнее, однако, ввести для каждого двугранного угла некоторый плоский угол, служащий мерой двугранного утла. Покажем, как это делается.
Рис. 349
Рассмотрим двугранный угол на рис. 349, образованный полуплоскостями К и 
и имеющий ребро а. Возьмем на. ребре произвольную точку 
и проведем через нее в каждой плоскости и 
, прямые 
перпендикулярные к ребру угла. Эти прямые, образуют плоский угол, принимаемый за меру двугранного угла. Так как обе прямые перпендикулярны к ребру угла, то и плоскость, в которой они лежат, перпендикулярна к нему. Поэтому плоский угол 
можно получить, рассекая двугранный угол плоскостью v, перпендикулярной к его ребру а. Итак, за меру двугранного угла принимается плоский угол, получаемый в пересечении двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру (нормальное сечение двугранного угла). Так образованный плоский угол 
может служить мерой двугранного угла, ибо величина плоского угла не зависит от положения точки МЛ. Действительно, стороны двух плоских углов 
построенных указанным выше способом, попарно параллельны: 
и потому углы эти равны (учитываем и одинаковую направленность сторон). Равные двугранные углы измеряются также равными плоскими углами.
В силу принятого определения полный двугранный угол получает в качестве меры также полный плоский угол, развернутый и прямой двугранные углы измеряются соответственно развернутым и прямым плоскими углами; вообще, естественная мера двугранного угла в единицах измерения двугранных углов (градусах) полностью совпадает с его мерой в единицах измерения плоских углов (градусах).
