248. Параллелепипеды.

Параллелепипедом называется призма, основания которой суть параллелограммы (рис. 375). В этом случае любую из граней можно принять за основание (точнее, две параллельные грани за пару оснований). Параллелепипед является «трижды призмой».

Как и всякая призма, параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к основаниям (рис. 376).

Рис. 375.

Рис. 376.

Боковые грани прямого параллелепипеда суть прямоугольники, основания — параллелограммы произвольного вида. Если у прямого параллелепипеда и в основаниях лежат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Все его двугранные углы прямые. Он является прямым по отношению к каждой паре противоположных граней, принятых за основания, т. е. «трижды прямым».

Длины трех взаимно перпендикулярных ребер прямоугольного параллелепипеда называют иногда его измерениями. Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называется кубом.

Справедлива следующая

Теорема, обобщающая теорему Пифагора. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Рис. 377.

Рис. 378.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед на рис. 377 и его диагональ . Проведем также диагональ основания . Квадрат этой диагонали по теореме Пифагора равен сумме квадратов двух сторон основания: Далее заметим, что в треугольнике АСС угол С прямой.

Значит, подставляя сюда выражение для найдем

что и требовалось доказать. В частности, диагональ куба с ребром, равным единице, равна .

Задача. Доказать, что сумма квадратов синусов трех углов, образуемых произвольным лучом с ребрами прямого трехгранного угла, равна двум.

Решение. Пусть О — прямой трехгранный угол (рис. 378), -данный луч. Отложим на луче отрезок, равный единице, и примем его за диагональ прямоугольного параллелепипеда, три грани которого лежат в гранях данного трехгранного угла. Тогда ребра параллелепипеда, как видно из рис. 378, будут выражаться косинусами углов, образуемых лучом с ребрами: . По теореме о квадрате диагонали находим

и, заменяя выражения через и т. д., найдем

Рис. 379.