§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями

135. Тригонометрические операции.

Рассмотрим некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями (первая группа формул).

1) . По определению

Пример 1.

По определению

Пример 2.

Следует подчеркнуть, что тождества (135.1) и (135.2) справедливы только в области определения (существования) арксинуса и арккосинуса, т. е. при |х| < 1. Например, нельзя писать , ибо выражение arcsin 1,2 не имеет смысла.

На основании предыдущего заметим также, что функции

совпадают только в области определения арксинуса и арккосинуса, т. е. на отрезке [-1, 1] оси Ох. Вне этого отрезка последние две функции просто не существуют.

3) По определению

Пример 3.

По определению

Пример 4.

Функции совпадают на всей оси

6) Положив получим

На основании формулы (100.3) будем иметь

Мы взяли перед корнем знак потому, что удовлетворяет неравенствам

Пример 5.

Положив получим

На основании формулы (100.1) будем иметь

Мы взяли перед корнем знак потому, что угол удовлетворяет неравенствам

Пример 6.

7) На основании тождества имеем

Пример 7.

8) На основании тождества имеем

Пример 8.

9) На основании формулы и предыдущих результатов получим еще формулу

Пример 9.

Аналогично предыдущему, рекомендуем читателю самостоятельно доказать следующие формулы:

Пример 10. Вычислить:

Решение. На основании формулы (125.5) имеем

Знаменатель этой дроби преобразуем по формуле (123.2):

Окончательно найдем:

С помощью формул (135.1) — (135.16) получим ряд новых соотношений (вторая группа формул).

Обозначив через а, будем иметь , откуда Мы воспользовались формулами (135.1) и (135.6). Итак,

Пример 11.

11) Имеем

Пример 12.

Аналогично предыдущему, будем иметь

Рекомендуем читателю рассмотреть другие возможные случаи, аналогичные случаям 10) —12), и вывести соответствующие формулы. Например:

Пример 13. Проверить равенство

Решение. Вычислим левую и правую части предполагаемого равенства. Обозначим через а, тогда Далее, воспользовавшись формулой (122.2), получим

Обозначим через , тогда Далее, на основании формул (119.1), (122.1) и (122.2) имеем

Следовательно, Решая пример 13, мы попутно вывели еще две формулы:

Выведем теперь некоторые формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометрической функции (третья группа формул).

13) . Обозначив через а, будем иметь . Так как , то , следовательно, удовлетворяет неравенствам поэтому перед корнем мы должны брать знак и мы имеем

Пример 14.

Аналогично предыдущему, можно вывести следующую формулу:

Рекомендуем это сделать читателю.

Пример 15.

Используя формулы сложения и полученные выше формулы, выведем еще ряд соотношений (четвертая группа формул).

15) . На основании формул (116.1), (135.1) и (135.6) будем иметь

Итак,

Пример 16.

На основании формул (116.1), (135.5) и (135.2) будем иметь

Итак,

Пример 17.

В этой группе формул можно образовать очень много различных соотношений. Запоминать все эти формулы не имеет смысла. В дальнейшем при решении примеров мы в каждом конкретном случае будем выводить ту или иную формулу.

Пример 18. Вычислить:

Решение. В общем виде наш пример можно записать так:

На основании формул (116.2), (135.24), (135.25), (135.21) и (135.22) будем иметь

В нашем конкретном случае Следовательно,

Пример 19. Вычислить: где

Решение. В общем виде наш пример можно записать так:

На основании формул (117.3) и (135.12) будем иметь

где . В нашем случае и

Следовательно,

Окончательно получаем: