§ 2. Элементарные функции

37. Обзор элементарных функций.

В элементарной математике по большей части рассматриваются функции, которые могут быть аналитически заданы с помощью рациональных действий (сложение, вычитание, умножение и деление), выполняемых над числами (константами) и перечисленными ниже так называемыми основными элементарными функциями, а также с помощью образования сложных функций. Основными элементарными функциями условимся считать следующие:

I) степенные функции , где k - любое действительное число;

II) показательные функции , где а — любое положительное число, отличное от единицы: ;

III) логарифмические функции , где а — любое положительное число, отличное от единицы: ;

IV) тригонометрические функции

V) обратные тригонометрические функции

Функции, получающиеся из основных элементарных функций перечисленными выше операциями (из которых особенно важна операция образования сложной функции), будем называть элементарными функциями. Так, например, элементарными являются функции

Выделим некоторые особенно важные виды элементарных функций.

Функции, образуемые применением к аргументу только трех целых рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (ц. р.ф.). Их также называют многочленами или полиномами от переменной любая ц. р.ф. записывается в виде

Если , то она называется или полиномом степени n. Линейную ц. р.ф.

называют просто линейной функцией; квадратичную

— квадратным (или квадратичным) трехчленом.

Дробно-рациональной функцией (д. р.ф.) называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление). Таковы, например, функции

Вообще, д. р. ф. представляется как частное отделения двух ц.р.ф.:

В простейшем случае, когда числитель и знаменатель — линейны, функция имеет вид

и называется дробно-линейной функцией.

Если, кроме рациональных операций, для образования функции применяется еще извлечение корня целой степени (т. е. возведение в рациональную степень), то такую функцию мы называем алгебраической иррациональной функцией. Примеры алгебраических иррациональных функций:

Все перечисленные до сих пор виды элементарных функций называются алгебраическими функциями.

Показательная функция, логарифмическая функция, степенная функция при иррациональном показателе степени называются трансцендентными функциями, также трансцендентными считают и тригонометрические функции. Сам термин «трансцендентный» означает «превосходящий» (в смысле превосходящий силу алгебраических методов). Тригонометрические функции изучаются в главах VIII—XII; здесь мы рассмотрим некоторые алгебраические и трансцендентные функции (логарифмическую и показательную).