235. Построения в стереометрии.

В стереометрии, как и в планиметрии, часто говорят о построении тех или иных точек, плоскостей, прямых линий. Но здесь уже не имеют в виду фактического построения с помощью геометрических инструментов. Просто предполагают возможным говорить о построении прямой, проходящей через две данные точки; плоскости, проходящей через три данные точки; точки пересечения данных прямой и плоскости; прямой, по котррой пересекаются две плоскости; плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости, и т. д. Решение менее очевидных задач на «построение» в стереометрии состоит в анализе этих задач, выяснении существования (и числа) решений и разложении более сложной конструкции на ряд простейших операций, вроде перечисленных выше.

Задача 1. Построить точку пересечения трех плоскостей.

Решение. Если среди данных трех плоскостей есть хотя бы две параллельные, то задача заведомо не имеет решений. Пусть поэтому каждая пара плоскостей из числа данных трех имеет прямую пересечения. Рассмотрим линию пересечения двух плоскостей, например , (рис. 336).

Рис. 336.

Эта прямая а по отношению к третьей плоскости v может занимать любое из трех положений: 1) если , то прямая и плоскость не имеют общих точек и, таким образом, три плоскости не пересекаются; читатель покажет, что все три линии их попарного пересечения параллельны (рис. 336, а); 2) прямая а лежит в плоскости v; тогда все три плоскости имеют общую прямую а (рис. 336, б), задача имеет бесчисленное множество решений, так как каждая точка прямой а является одной из точек пересечения трех плоскостей;

3) прямая а имеет с плоскостью v единственную общую точку в этом случае, который следует рассматривать как наиболее общий, три плоскости имеют единственную точку пересечения М (рис. 336, в).

Задача 2. Даны прямые а, b, с. Провести прямую, параллельную прямой а и пересекающую другие данные прямые

Решение. Укажем план построения, исследование же различных случаев оставим читателю. Через прямые b и с проведем плоскости, параллельные прямой а (это построение однозначно выполнимо, если прямые а и b, а также а с скрещивающиеся). Линия их пересечения (всегда ли она существует?) и может дать решение задачи (если не окажется параллельной одной из прямых b, с).