164. Сравнительная длина отрезков и ломаных.

Пусть даны две точки М и N (рис. 168). Отрезок MN прямой, соединяющей эти точки, является кратчайшим путем, ведущим из М в N. Всякий иной путь, например представленный ломаной MABN, имеет заведомо большую длину: Свойство прямой быть кратчайшей из линий, соединяющих две точки, мы принимаем без доказательства.

Рассмотрим теперь две различные ломаные, соединяющие точки М и N (рис. 169). Пусть ломаная MABN — выпуклая в том смысле, что она вместе с отрезком NM образует выпуклый многоугольник MABN. Пусть, далее, ломаная MCDN (не обязательно выпуклая) охватывает указанный многоугольник. Ломаную MCDN мы называем по этой причине объемлющей, ломаную MABN - объемлемой. Тогда справедлива

Теорема. Объемлющая ломаная MCDN длиннее всякой выпуклой объемлемой ломаной.

Доказательство. Пусть, например, прямая АВ при своем продолжении пересекает объемлющую ломаную в точках К и

Рис. 169.

Рис. 170.

Имеем ряд неравенств, выражающих то положение, что прямолинейный путь короче ломанного: . Складывая их почленно и учитывая, что МК находим: что и требовалось доказать.