Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
§ 1. Перпендикулярные и параллельные прямые
169. Перпендикуляр и наклонные.
Рассмотрим прямую АВ и точку М, не лежащую на ней (рис. 181).
Рис. 181.
Теорема. Через точку М можно провести прямую, перпендикулярную к данной, и притом только одну.
Здесь следует различать два отдельных утверждения: 1) перпендикуляр (хотя бы один!) существует; 2) существует не более одного перпендикуляра.
Доказательство. 1. Существование перпендикуляра. Перегнем рис. 181 по прямой АВ так, чтобы точка
М совместилась с точкой М, лежащей по сравнению с I по другую сторону от прямой АВ. Расположенные так точки М и М называются симметричными относительно прямой АВ. Соединим 
и симметричную с ней точку М. Отрезок ММ пересечет АВ в некоторой точке 
. Покажем, что прямая АВ перпендикулярна к ММ. Действительно, углы 
смежные и при наложении «верхней» полуплоскости на «нижнюю» путем сгибания по прямой совпадут по построению и, значит, равны, т. е. каждый из них прямой.
2. Единственность. Теперь докажем единственность перпендикуляра. Двух перпендикуляров к АВ из точки М провести нельзя. Действительно, перпендикуляр 
к АВ при сгибе плоскости по АВ совместится со своим продолжением ввиду равенства смежных углов; если бы через М проходило два таких перпендикуляра, то они оба прошли бы через 
но точки М и М могут быть соединены только одной прямой. Итак, прямая ММ — единственный перпендикуляр, который можно опустить из 
на прямую АВ. Точка 
называется основанием перпендикуляра.
Через точку, лежащую на прямой, также можно провести лишь один перпендикуляр к прямой. Для его построения достаточно приложить к данной прямой одну сторону прямого угла, тогда вторая его сторона дает искомый перпендикуляр. Таким образом, доказано, что через данную точку плоскости можно провести один и только один перпендикуляр к данной прямой (говорят: «опустить перпендикуляр», если точка не лежит на прямой, и «восставить перпендикуляр», если точка принадлежит прямой).
Пусть АВ — прямая, 
- основание перпендикуляра, опущенного на нее из точки М (рис. 182); возьмем на АВ произвольную точку С, отличную от 
и соединим с точкой М.
Рис. 182.
Рис. 183.
Полученная прямая образует с АВ углы, отличные от прямого, и называется наклонной. Через точку М можно провести бесчисленное множество наклонных к АВ; в более узком смысле наклонной называется отрезок МС; С называется основанием наклонной, а отрезок между основаниями перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки М к прямой АВ, — проекцией наклонной.
Отметим некоторые свойства наклонных.
1. Если из данной точки М к одной и той же прямой А В проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная длиннее перпендикуляра.
Доказательство. Перегнем рис. 182 по прямой АВ; тогда точка М займет положение М, симметричное исходному, наклонная МС перейдет в положение МС. Теперь ломаная МСМ 
длиннее прямолинейного отрезка ММ 
откуда МО 
, что и требовалось доказать.
2. Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, которая имеет большую проекцию, т. е. основание которой дальше отстоит от основания перпендикуляра.
Доказательство. Пусть МС и MD - две наклонные (рис. 183). Перегибая рис. 183 по прямой 
видим, что длина объемлющей ломаной 
больше длины объемлемой выпуклой ломаной MCM, т. е. 
или 
Если наклонные расположены по разные стороны от перпендикуляра 
то мы придем к тому же результату, перегнув сначала рис. 183 по линии этого перпендикуляра.
3. Если две различные наклонные, проведенные к прямой АВ из одной и той же точки М, равны, то их основания лежат по разные стороны от основания перпендикуляра, опушенного на АВ из той же точки, на равных расстояниях от него.
Доказательство. По предыдущему при любом ином расположении одна из наклонных (именно та, основание которой удалено больше) была бы длиннее второй. Отсюда следует, что 
Рис. 184.
4. Пусть две равные наклонные проведены из точки М к АВ. Проведя прямую через М и середину отрезка между основаниями наклонных, получим перпендикуляр к прямой АВ.
