Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА

§ 1. Призма. Параллелепипед. Цилиндр

247. Цилиндры и призмы.

Рассмотрим какую-либо линию лежащую в плоскости к (рис. 369), и некоторую прямую s, пересекающую эту плоскость. Через все точки данной линии l проведем прямые, параллельные прямой s; образованная этими прямыми поверхность а называется цилиндрической поверхностью.

Линия называется направляющей этой поверхности, прямые — ее образующими.

Рис. 369.

Рис. 370.

На рис. 370 представлена такая цилиндрическая поверхность, направляющая которой является ломаной линией ABCDEF; такая цилиндрическая поверхность состоит из ряда плоских полос, заключенных между парами параллельных прямых, и называется призматической поверхностью. Образующие, проходящие через вершины направляющей ломаной, называются ребрами призматической поверхности, плоские полосы между ними — ее гранями.

Если рассечь любую цилиндрическую поверхность произвольной плоскостью, не параллельной ее образующим, то получим линию, которая также может быть принята за направляющую данной поверхности.

Среди направляющих выделяется та, которая получается от сечения поверхности плоскостью, перпендикулярной к образующим поверхности. Такое сечение называется нормальным сечением, а соответствующая направляющая — нормальной направляющей.

Рис. 371.

Если направляющая — замкнутая (выпуклая) линия (ломаная или кривая), то и соответствующая поверхность называется замкнутой (выпуклой) призматической или цилиндрической поверхностью (рис. 371). Из цилиндрических поверхностей простейшая имеет своей нормальной направляющей окружность (рис. 372). Ее удобно образовать, вращая прямую а вокруг оси, параллельной ей (ось 00 перпендикулярна к плоскости направляющей окружности). Рассечем замкнутую выпуклую призматическую поверхность (рис. 373) двумя плоскостями А, и У, параллельными между собой, но не параллельными образующим.

Рис. 372,

Рис. 373.

В сечениях получим выпуклые многоугольники ABCD и ABCD. Теперь часть призматической поверхности, заключенная между плоскостями и две образовавшиеся при этом многоугольные пластинки в этих плоскостях ограничивают тело, называемое призматическим телом или, короче, призмой. Итак, призмой называется тело, ограниченное с боков выпуклой замкнутой призматической поверхностью и с торцов параллельными многоугольными основаниями.

Часть боковой поверхности призмы между двумя соседними ребрами, т. е. боковая грань призмы, является параллелограммом (противоположные стороны по построению попарно параллельны); основания (условно можно называть их верхним и нижним основаниями) суть равные многоугольники. Действительно, стороны их попарно равны и параллельны, углы, заключенные между параллельными сторонами, равны. Ясно также, что все боковые ребра призмы равны. Высотой призмы называется расстояние по перпендикуляру между плоскостями оснований призмы (отрезок h на рис. 373).

В призме также приходится рассматривать некоторые углы, названия которых понятны сами собой. Это плоские углы основания, плоские углы в боковых гранях, двугранные углы при основании (т. е. двугранные углы, образованные плоскостью основания и плоскостями боковых граней), двугранные углы при боковых ребрах (т. е. двугранные углы между боковыми гранями).

Если боковые грани призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, т. е. если основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма называется прямой призмой. У прямой призмы боковое ребро служит высотой. Плоские углы основания являются плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.

Прямая призма, основания которой суть правильные многоугольники, называется правильной призмой; следует заметить, что правильная призма, вообще говоря (за исключением куба), не может считаться правильным многогранником, ибо основания ее суть грани, форма и размеры которых отличны от формы и размеров боковых граней.

Рис. 374.

Цилиндрическое тело, короче цилиндр, определяется аналогично призме: цилиндром называется тело, ограниченное с боков замкнутой (выпуклой) цилиндрической поверхностью, а с торцов двумя плоскими параллельными основаниями. Оба основания цилиндра равны между собой, также равны между собой и все образующие цилиндра (т. е. отрезки образующих цилиндрической поверхности между плоскостями оснований). Цилиндр называется прямым, если плоскости его оснований перпендикулярны к образующим. Мы изучим только прямой круговой цилиндр (рис. 374), называемый также цилиндром вращения. Он может быть образован вращением прямоугольника вокруг одной из своих сторон. Радиус основания называется радиусом цилиндра, образующая одновременно служит высотой.