33. Элементарное исследование поведения функции.

Систематическое и полное исследование функций составляет одну из главных задач области математики, называемой математическим анализом. В элементарной математике также рассматривают простейшие вопросы, связанные с исследованием функций. При этом под исследованием функции понимают установление ряда ее свойств. Итогом такого исследования может быть построение графика функции. В связи с этим вспомним некоторые понятия, относящиеся к функциям.

а) Нулем (или корнем) функции называется такое значение аргумента при котором функция обращается в нуль. Графически нули функции суть точки пересечения ее графика с осью Ох (например, точка на рис. 12).

Рис. 13.

Рис. 14.

б) Функция область определения которой симметрична относительно начала отсчета О (например, является сегментом называется четной, если для любого х из ее области определения выполнено равенство

График четной функции симметричен относительно оси Оу (рис. 13), так как вместе с точкой ему будет принадлежать и симметричная точка Обратно, если график симметричен относительно оси то функция — четная.

в) Функция область определения которой на оси симметрична относительно начала О, называется нечетной, если для любого из ее области определения выполнено равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как вместе с любой его точкой ему принадлежит и симметричная точка (рис. 14). Обратно, если график функции симметричен относительно О, то функция — нечетная.

Примеры четных и нечетных функций:

Многие функции, например не являются ни четными, ни нечетными функциями.

г) Функция называется возрастающей в некотором промежутке, лежащем в ее области определения, если для любых двух значений из этого промежутка из неравенства следует (большим значениям аргумента отвечают большие значения функции). Если из следует лишь неравенство , то функция называется неубывающей. Аналогично, убывающей называется функция, для которой из следует , а невозрастающей — функция, для которой при выполняется неравенство . Интервал, на котором функция убывает или возрастает, называется интервалом монотонности функции. Так, например, для функции, график которой изображен на рис. 12, интервалами монотонности служат интервалы (на первом из них функция монотонно возрастает, на втором — монотонно убывает).

Функция , которая также может быть задана парой равенств

является неубывающей функцией на всей числовой оси. Она возрастает на положительной полуоси (рис. 15).

д) Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если функция определена в самой этой точке и в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Рис. 15.

На рис. 16 точки суть точки максимума, а точки точки минимума функции. Максимум функции — ее наибольшее значение по сравнению с «соседними» точками слева и справа, но не обязательно по сравнению с отдаленными точками. Практически, если находятся интервалы монотонности, то на их стыке часто обнаруживаются точки максимума или минимума, как на рис. 16. Термин «экстремум» функции объединяет понятия максимума и минимума: ТОЧКИ суть точки экстремума функции f(x).

е) Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность. На рис. 17, а прямые асимптоты графика функции. На рис. 17, б показан график с асимптотой у = х (биссектриса первого координатного угла).

При исследовании функции необходимо ответить на следующие вопросы.

Рис. 16.

Рис. 17.

1) Область определения функции; 2) область изменения функции, т. е. область ее значений; 3) нули функции; интервалы знакопостоянства функции (т. е. интервалы, в которых функция положительна или отрицательна); точка пересечения графика с осью Оу (если функция определена при х = 0); 4) свойства симметрии графика функции (четность или нечетность функции); 5) интервалы возрастания и убывания функции; 6) точки максимума и минимума функции; 7) асимптоты графика функции.

Разумеется, не всегда мы можем элементарными средствами получить точный ответ на все вопросы. Напротив, иногда возникают и другие, дополнительные вопросы различного содержания. Здесь указана примерная схема, которой мы в общих чертах придерживаемся при исследовании функции и построении ее графика.

Рис. 18.