71. Показательные уравнения.

Показательными называют уравнения в случае, если неизвестная величина находится в показателе степени (основание которой не содержит неизвестной величины); к показательным можно отнести уравнения

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Оно решается с помощью логарифмирования:

Во многих случаях решение показательного уравнения после надлежащих преобразований сводится к решению уравнений простейшего вида (71.1). Кроме того, при решении показательных уравнений часто используется следующее известное положение.

Если равны степени с одним и тем же основанием, то равны показатели степени (либо основание равно единице): из равенства

вытекает

Разберем примеры решения показательных уравнений. Пример 1. Решить уравнение

Решение. Удобно представить обе части уравнения как степени одного и того же числа, например 9:

Теперь приравниваем показатели степени и получаем уравнение

из которого находим решения данного уравнения: Пример 2. Решить уравнение

Решение. И здесь удобно свести показательные функцш к одному основанию 2:

Получили крадратное уравнение для неизвестной

его корни Так как не может иметь отрк дательных значений, то имеет смысл только решение находим единственный корень уравнения из равенств

Пример 3. Решить уравнение . Решение. Преобразуем обе части уравнения:

или, наконец

Отсюда

Итак, — единственный корень уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Заметим, что числа обратны по величине:

Поэтому, обозначив через и, перепишем уравнение (71.2) в виде

Имеем для корни . Равенства

приводят к двум квадратным уравнениям относительно х

Первое из них имеет мнимые корни, второе же дает решения уравнения