111. Основные графики.

1. Синусоида (график функции ).

1) Область определения (существования) функции:

х — любое действительное число

2) Область изменения функции:

3) Периодичность функции:

sinx - периодическая функция с основным периодом, равным .

4) Четность функции:

sinх - нечетная функция, ибо .

На основании пп. 3) и 4) достаточно построить график функции на отрезке , а затем продолжить его нечетно на отрезок и, наконец, то, что получится на отрезке , продолжить периодически на всю числовую ось. Итак, в дальнейшем будем изучать поведение нашей функции на отрезке .

5) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью график функции проходит через начало координат;

6) с осью функции).

Найдем те при которых Такими значениями будут числа Нас интересуют из отрезка . Такими будут (уже найдено) и , а остальные нули функции расположены вне отрезка . Следовательно, нули sinx на отрезке совпадают с концами этого отрезка.

б) Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке .

Функция на отрезке монотонно возрастает от 0 до на отрезке монотонно убывает от до 0 (см. п. 98). Следовательно, наименьшими значениями будут наибольшее значение достигается в одной точке:

Интервалы знакопостоянства функции.

На исследуемом отрезке наша функция всюду неотрицательна, т. е.

На основании неравенств для мы заключаем, что наша синусоида на отрезке должна располагаться ниже биссектрисы первого координатного угла. Так как при этом т. е. является при малых весьма малой величиной, то график близок к графику биссектрисы I координатного угла).

После того как функция исследована, приступаем к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции sinx. Для построения некоторых «опорных» точек можно, например, применить два способа.

Первый способ. Составим таблицу значений для sinx на отрезке с шагом с точностью до 0,01. (Длина последнего отрезка на оси немного меньше 0,2).

Значения для синуса взяты из таблицы тригонометрических функций (приложение II).

Второй способ. Воспользуемся геометрическими соображениями. Рассмотрим первую четверть единичной окружности (рис. 112). Разделим ее и соответствующий ей отрезок оси например, на 8 равных частей.

Рис. 112.

Величина перпендикуляра, опущенного из точки деления окружности на ось численно равна значению сйнуса соответствующего угла и значению синуса соответствующего числового аргумента из отрезка оси Ох. Во второй четверти синус убывает от 1 до 0. На основании нашего геометрического построения можно заключить, что график синуса во второй четверти симметричен его графику в первой четверти относительно прямой

Соединив полученные вторым (или первым) способом «опорные» точки плавной линией, мы получим график синуса (синусоиду) на отрезке . При проведении линии (построении графика) следует иметь в виду свойства 2), 6), 7) и 8). Затем продолжим график синуса на отрезок используя нечетность синуса, а именно построим на отрезке график, симметричный графику синуса на отрезке относительно начала координат.

Имея график синуса, построенный на отрезке мы, используя его периодичность, сможем продолжить его на всю числовую ось (рис. 113).

Рис. 113

2. График функции На основании формулы приведения мы Имеем

Рис. 114.

Следовательно, график косинуса — это синусоида, сдвинутая по оси влево на График косинуса построен на рис. 114.

3. Тангенсоида (график функции y = tgx).

1) Область определения функции:

х - любое действительное число, кроме чисел вида

2) Область изменения функции:

3) Периодичность функции:

tgx - периодическая функция с основнь периодом, равным я.

4) Четность функции:

tgx - нечетная функция, ибо

На основании 3) и 4) достаточно построить график функции на отрезке , а далее продолжить его нечетно на отрезок и, наконец, то, что получится на отрезке продолжить периодически на всю числовую ось. Итак, в дальнейшем будем изучать поведение нашей функции на отрезке .

5) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью график функции проходит через начало координат;

6) с осью Ох (у = 0) (нули функции).

Найдем те значения , при которых . Такими значениями будут Нас интересуют из отрезка (уже найдено), а остальные нули функции расположены вне отрезка . Следовательно, единственный нуль находящийся на отрезке совпадает с левым концом этого отрезка.

6) Вертикальные асимптоты:

tgx определен всюду на отрезке кроме точки .

Так как при то прямая является вертикальной асимптотой для графика функции

Наименьшие и наибольшие значения функции на отрезке .

На основании п. 98 функция на отрезке монотонно возрастает от 0 до Следовательно, наименьшее значение будет у а наибольшего значения не будет, ибо когда

Интервалы знакопостоянства функции.

На исследуемом отрезке функция всюду неотрицательна, т. е. Следовательно, график функции лежит над осью На основании неравенств (см. (109.1)) для мы заключаем, что тангенсоида на отрезке должна располагаться выше биссектрисы первого координатного угла.

После того как функция исследована, приступаем к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции Для построения «опорных» точек можно применять один из двух уже знакомых нам способов.

Первый способ. Составим таблицу значений для на отрезке с шагом и с точностью до 0,01. (Длина последнего отрезка на оси немного меньше )

Значения для тангенса взяты из таблицы тригонометрических функций (приложение И).

Второй способ. Воспользуемся геометрическими соображениями аналогично тому, как мы это делали в случае построения графика функции Разделим опять первую четверть единичной окружности и соответствующий ей отрезок оси Ох, например, на 8 равных частей. На оси тангенсов получим отрезки, численно равные тангенсам соответствующих углов.

Далее, эти отрезки перенесем в соответствующие точки оси Концы их соединим плавной линией и получим график функции у = tgx (рис. 115). Вся тангенсоида изображена на рис. 116.

Рис. 115.

4. График функции изображен на рис. 117.

Рекомендуем читателю самостоятельно построить его двумя способами:

1) составить таблицу значений для ctgx на отрезке с шагом и точностью до 0,01;

2) воспользоваться формулой приведения

Указания к способу 1). При составлении таблицы значений для ctgx воспользоваться формулой и таблицей тригонометрических функций (приложение II), например:

Указания к способу 2). 1) Построить график функции у = tg х;

2) сдвинуть построенный график влево по оси на (получим график функции

Рис. 116.

Рис. 117.

3) последний график зеркально отразить (перевернуть) относительно оси Ох (после выполнения последнего действия получим график функции у = ctgx).