§ 3. Трапеция
196. Трапеция.
Трапецией называется четырехугольник, у которого имеется только одна пара параллельных сторон. Так, четырехугольник ABCD, изображенный на рис. 238, - трапеция. Стороны AD и ВС здесь параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, непараллельные стороны — боковыми сторонами. Параллельные стороны не могут быть равными, так как в противном случае мы имели бы параллелограмм (см. свойство 1 п. 193). Поэтому одну из них мы назовем большим, вторую — малым основанием трапеции.
По свойствам параллельных прямых видно, что сумма углов, прилежащих к каждой из боковых сторон, равна двум прямым (у параллелограмма двум прямым равна сумма углов, прилежащих к любой стороне).
Чтобы получить трапецию, можно пересечь треугольник ABC (рис. 239) прямой 
параллельной одной из его сторон АВ. Эту трапецию можно назвать усеченным треугольником.
Отрезок 
прямой, перпендикулярной к основаниям трапеции, заключенный между ними, называется высотой трапеции (рис. 238). На рис. 240 изображена трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна к ее основаниям.
Рис. 238.
Рис. 239.
Рис. 240.
Рис. 241.
Такая трапеция называется прямоугольной. Обратно, всякий четырехугольник, у которого два угла, прилежащие к одной стороне, прямые, является либо прямоугольной трапецией (очевидно, по меньшей мере две стороны параллельны), либо прямоугольником.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобочной трапецией. Читателю следует обратить внимание на то, что у такой трапеции есть пара равных сторон и есть пара параллельных сторон, и тем не менее она не является параллелограммом.
Отметим некоторые свойства равнобочной трапеции.
1. Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобочной трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D (рис. 241) при большем основании AD равнобочной трапеции ABCD. Для этой цели проведем через вершину С прямую, параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ, отсеченный проведенной прямой от трапеции, является параллелограммом, так как по построению он имеет две пары параллельных сторон.
Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции, равен ее боковой стороне: 
Отсюда ясно, что 
треугольник CMD — равнобедренный, 
и, значит, 
Углы, прилежащие к малому основанию, равны, так как каждый из них в сумме с равными углами А и D составляет два прямых.
2. Диагонали равнобочной трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 242). Их равенство сразу следует из второго признака равенства треугольников (сторона AD общая, стороны АВ и CD равны, углы BAD и ADC, заключенные между равными сторонами, равны по свойству 1). Из равенства треугольников заключаем, что 
Рис. 242.
Рис. 243.
3. Если продолжить стороны равнобочной трапеции до их пересечения, то вместе с большим основанием трапеции они образуют равнобедренный треугольник. Иначе говоря, равнобочная трапеция получается усечением равнобедренного треугольника прямой, параллельной его основанию.
Свойство 3 следует из равенства углов при большом основании. Высота 
построенного равнобедренного треугольника AED (рис. 243) является осью симметрии треугольника и вместе с тем трапеции: линия MN, соединяющая середины оснований ВС и AD равнобочной трапеции, перпендикулярна к ее основаниям и служит осью симметрии трапеции.
Все перечисленные свойства являются характеристическими: каждое из них выделяет равнобочную трапецию среди всех трапеций.
1. Если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобочная.
2. Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобочная.
3. Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе с ее большим основанием равнобедренный треугольник (здесь равны продолженные боковые стороны), то трапеция равнобочная.
Ограничимся указанием, что свойство Г доказывается с помощью того же построения, которое приведено на рис. 241; доказательство остальных свойств предоставляем читателю.
Задача 1. Построить трапецию по двум ее основаниям и диагоналям.
Решение. Допустим сначала, что искомая трапеция ABCD, имеющая данные основания а, b и диагонали 
уже построена (рис. 244). Продлим сторону AD (большое основание трапеции) до пересечения с прямой CL, проведенной из вершины С параллельно диагонали BD. Тогда в треугольнике ACL основание AL равно сумме оснований трапеции. Поэтому можно начать решение задачи с построения треугольника ACL по трем его известным сторонам. Дальнейшее предоставим читателю.
Задача 2. Показать, что трапеция, диагонали которой образуют с большим основанием равные углы, — равнобочная трапеция.
Рис. 244.
Рис. 245.
Решение. Из равенства углов при большом основании вытекает и равенство углов, которые диагонали образуют с малым основанием. В силу этого треугольники, сторонами которых соответственно служат основания и отрезки диагоналей до точки О их пересечения, равнобедренные, откуда уже вытекает равенство диагоналей и по ранее указанным свойствам — равенство боковых сторон трапеции.
