§ 3. Решение треугольников

220. Таблицы функций.

В этом параграфе рассматриваются задачи вычислительного характера на отыскание одних элементов треугольника по другим, заданным. При их решении приходится использовать таблицы тригонометрических функций (такие таблицы даны в приложениях I и II, и о них кратко говорилось в п. 110), а также таблицы их логарифмов. Здесь даются более полные сведения о пользовании как этими таблицами, так и таблицами функций вообще. При приведении примеров используются следующие таблицы:

1. В. М. Врадис, Четырехзначные математические таблицы, Учпедгиз, 1964.

2. Б. И. Сегал и К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, 1959 и последующие годы издания.

Заметим, что таблицы составляются по-разному, поэтому рекомендуется, прежде чем приступать к вычислениям с помощью таблиц, внимательно прочитать указания (объяснения) для пользования, которые всегда прилагаются к таблицам.

Сообщаемые здесь правила пользования таблицами относятся к любым употребительным таблицам функций (квадратов и квадратных корней, логарифмов и т. д.), но иллюстрируем мы их в основном на примере таблиц тригонометрических функций.

А) Устройство таблиц. Таблица функции обычно содержит значения функции для равноотстоящих значений аргумента где постоянное положительное число.

Положительное число (разность двух соседних табличных значений аргумента) называется шагом таблицы. Иногда таблицы разбиваются на участки, каждый из которых имеет свой шаг. Точность таблицы определяется количеством верных знаков (цифр) табличных значений функции. Обычно все значения функции в таблице (или в отдельной ее части) округляются до одного и того же разряда.

Этот разряд называют младшим разрядом табличных значений функции. Абсолютная погрешность табличных значений обычно не превышает половины единицы младшего разряда.

Приведем для примера два участка таблицы Брадиса для функции

Здесь шаг все четыре знака (цифры) в значениях функции верные. Младшим разрядом табличных значений функции является четвертый десятичный разряд (10-1) на первом участке и третий десятичный разряд (10-3) на втором.

Б) Табличные разности. При работе с таблицами используются табличные разности; ограничимся здесь только разностями первого порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

и вообще

Каждая разность обычно записывается мелким шрифтом справа между строками, в которых указаны соседние табличные значения функций.

Все табличные разности выражают целыми числами в единицах младшего разряда табличных значений функции. Табличная разность может быть нулем, положительным или отрицательным числом.

В качестве примера приведем табличные разности первого порядка для функции на различных участках таблицы XII (В. М. Брадис).

В таблицах Брадиса разности явно не выписаны, а в таблицах Сегала и Семендяева выписаны.

В) Линейная интерполяция. В любых таблицах функций приведены лишь некоторые (обычно равноотстоящие, с шагом h) значения аргумента. Поэтому непосредственно по таблице можно найти только значения функции для этих табличных значений аргумента. Так, например, по таблице в приложении I, где аргументом является угол, измеренный в градусной мере, мы можем найти только тригонометрические функции угла, измеренного целым числом градусов. Остается пока открытым вопрос: как искать, например, или По таблице же (приложение II), где аргументом является число (или радианная мера угла), можем найти тригонометрические функции аргумента, выраженного с точностью до 0,1. Остается пока открытым вопрос: как искать, например, или ? В связи с этим будем называть задачу о вычислении значения таблично заданной функции для промежуточного значения аргумента (не имеющегося в таблице) частной задачей интерполяции.

Пример 1. В таблице XII (Брадис) находим

т. е. . Частной задачей интерполяции является, например, задача о нахождении

Простейшим методом решения такой задачи является метод линейной интерполяции. Линейная интерполяция состоит в том, что функция заданная на отрезке заменяется линейной функцией которая удовлетворяет условиям

Геометрически это означает, что дугу кривой между точками мы заменяем хордой (рис. 304).

Коэффициенты уравнения прямой, отрезком которой является хорда нетрудно получить из условий

(выражающих, что прямая проходит через «табличные» точки Вычитая верхнее уравнение (220.3) из нижнего, находим,

и для имеем

Рис. 304.

После простых преобразований предоставляемых читателю, мы сведем уравнение и найденными значениями к виду

Последняя формула (220.4) называется формулой линейной интерполяции. Этой формулой пользуются для отыскания промежуточных (приближенных) значений функции, т. е. тех значений которых нет в таблице. Так как обычно берется внутри отрезка то выполняются неравенства так что к прибавляется какая-то часть Число которое надо прибавить к чтобы получить значение линейной функции (220.4) в точке называется поправкой. Эту поправку принято записывать целым числом единиц того же разряда, что к т. е. младшего разряда табличных значений функции у. На практике формула применяется в виде

Поправки могут быть даны в таблице, а могут и не быть даны. Во втором случае приходится их вычислять самостоятельно. Приведем некоторые примеры.

Пример 2. Найти по таблицам Брадиса. Решение. В таблице имеются следующие значения: и поправка на 2, равная 10.

Следовательно,

Поправка на 2 может быть получена так. В таблице имеются следующие значения:

В нашем случае Следовательно, поправка Заметим, что и поправка равна но, согласно договоренности, и поправку (которая округлена) записываем целым числом единиц младшего разряда табличных значений.

Пример 3. Найти по таблицам Сегала и Семендяева.

Решение. В таблице имеются следующие значения:

В нашем случае (эта табличная разность указана в таблице между строк) и .

Следовательно, поправка (округляем до целых единиц). Значит,

Пример 4. Найти по таблицам Брадиса. Решение. В таблице XII имеются следующие значения:

Ни табличные разности, ни поправки в этой таблице не выписаны. Вычислим их. В нашем случае имеем Поэтому поправка (округляем поправку до целого числа единиц). Следовательно,

В пятизначных таблицах Сегала и Семендяева находим сразу .

Г) Обратная линейная интерполяция. Поставим теперь обратную задачу: по данному значению функции, для которой имеется таблица, найти соответствующее значение аргумента. Если данное значение функции имеется в таблице, то мы просто пишем соответствующее значение аргумента. Например, по таблице VIII Брадиса и по таблице XII Брадиса Если же данного значения функции в таблице нет, то будем пользоваться обратной линейной интерполяцией, находя приближенно соответствующее промежуточное значение аргумента, т. е. фактически приближенное промежуточное значение обратной функции. Если на некотором участке таблицы функция имеет обратную функцию (Для этого существенно условие монотонности функции y = f(x), см. п. 35), то значения этой обратной функции (т. е. значения при заданных значениях ) можно находить приближенно по той же формуле (220.4). Для этого разрешим равенство (220.4) относительно

Формула (220.5) называется формулой обратной линейной интерполяции.

Приведем некоторые примеры.

Пример 5. Найти по таблице IX Брадиса.

Решение. Обозначим искомое значение через через у. Этим самым сводим задачу к нахождению аргумента по известному значению функции . Заданное значение заключено между числами 0,2107 и 0,2126, имеющимися в таблице: . Обычно из двух табличных значений функции, между которыми заключено заданное значение функции у, в качестве берут то, которое соответствует меньшему значению аргумента.

В нашем случае имеем

Поправка вычисленная по формуле (220,5), равна

Прибавив эту поправку к табличному значению аргумента получим

Пример 6. Найти острый угол по таблице XVI Брадиса, если известно, что

Решение. Рассмотрим функцию Заданное значение заключено между значениями 1,8810 и 1,8817, имеющимися в таблице: . В нашем случае в качестве возьмем 1,8817. Итак, .

Поправка вычисленная по формуле (220.5), равна

Прибавив эту поправку к табличному значению аргумента получим