Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей

231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут быть расположены различным образом. Прежде всего, может случиться, что две прямые имеют общую точку. Тогда они заведомо лежат в одной плоскости. Действительно, чтобы построить такую плоскость, достаточно провести ее через три точки: точку А пересечения указанных прямых (рис. 323) и точки С и В, взятые соответственно на прямых . Имея с каждой из прямых по две общие точки, плоскость будет содержать обе прямые.

Рис. 323.

Пусть теперь данные прямые не имеют общих точек. Это еще не означает, что они параллельны, так как определение параллельности предусматривает, что прямые принадлежат одной плоскости. Чтобы решить вопрос о расположении наших прямых, проведем через одну из них, например , и произвольно взятую точку А на другой прямой плоскость К. Возможны два случая:

1) Построенная плоскость содержит всю вторую прямую (рис. 324). В этом случае прямые тип принадлежат одной плоскости и не пересекаются и потому параллельны.

2) Плоскость X пересекает прямую в точке А. Тогда обе прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися (рис. 325).

Итак, возможны три основных случая взаимного расположения двух прямых.

1. Прямые лежат в одной плоскости и пересекаются.

2. Прямые лежат в одной плоскости и параллельны.

3. Прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости.

Пример. Из 12 ребер куба можно образовать пар прямых. Из них 24 пары скрещивающихся, 24 пересекающихся и 18 пар параллельных прямых. Читатель убедится в правильности этого по модели или чертежу.

Заметим, что в пространстве сохраняет силу постулат о параллельных прямых:

Через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная ей.

В самом деле, прямая и заданная вне ее точка определяют плоскость, в которой обязана лежать искомая прямая, параллельная данной, ее единственность вытекает из постулата о параллельных.

Отметим, что два известных предложения планиметрии, относящиеся к свойствам параллельных прямых, потребуют для случая пространства особого обоснования (см. п. 232).

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой; два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны.

Рис. 324.

Рис. 325.

По поводу второго из указанных предложений заметим, что на нем основано определение угла между скрещивающимися прямыми: углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проведенными через произвольную точку М. Очевидно, такое определение опирается на предположение независимости угла от выбора точки М (см. п. 232).

Под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую, понимается прямая, проведенная из данной точки под прямым углом к данной прямой и пересекающая ее. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственный перпендикуляр к ней.

Действительно, искомый перпендикуляр должен лежать в плоскости, определяемой данной прямой и точкой, и потому к нему применимы положения планиметрии. Однако из точки, лежащей на прямой, можно провести к ней бесчисленное множество перпендикуляров: по одному в каждой плоскости, проведенной через эту прямую.