194. Прямоугольник.
Прямоугольником называется такой параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны. Ясно, что параллелограмм будет прямоугольником уже в том случае, когда хотя бы один из его углов прямой, так как тогда будут прямыми и остальные его углы. Если же заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то придется проверить-, что три угла его прямые, тогда, конечно, и четвертый угол будет прямой, так как сумма углов любого четырехугольника равна четырем прямым. Важно также следующее отличительное свойство прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и ACD (рис. 235). Эти треугольники прямоугольные, катет AD у них общий и катеты АВ и CD равны, следовательно, равны и гипотенузы: BD = AC, что и требовалось доказать.
Если известно, что данный четырехугольник — параллелограмм, то данное свойство будет для прямоугольника характеристическим:
Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.
Доказательство. Из равенства диагоналей BD и АС (рис. 235) в свою очередь следует равенство треугольников 
и,значит, равенство углов BAD и ADC; но, составляя в сумме два прямых и будучи равными, эти углы должны быть прямыми; значит, параллелограмм — прямоугольник.
Рис. 235,
Рис. 236.
195. Ромб. Квадрат. Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Для того чтобы проверить, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно показать, что две его смежные стороны равны; тогда равенство всех сторон будет вытекать из свойства 1 п. 193. Если заранее неизвестно, является ли данный четырехугольник параллелограммом, то достаточно проверить равенство всех сторон, чтобы убедиться, что мы имеем ромб:
Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
(Заметим, что это уже утверждение, требующее доказательства, а не определение!)
Доказательство. Если у четырехугольника все стороны равны, то, в частности, попарно равны и противоположные стороны и четырехугольник является параллелограммом (свойство 1 п. 193). Но параллелограмм с равными сторонами будет ромбом (в силу определения ромба). Укажем еще одно свойство ромба:
Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и СОВ (рис. 236); они равны в силу того, что катет ОВ у них общий, а катеты АО и СО равны по свойству диагоналей параллелограмма. Значит, АВ = ВС, и потому все четыре стороны параллелограмма равны, т. е. он будет ромбом.
Предлагается читателю доказать теорему:
Диагонали любого ромба взаимно перпендикулярны. Прямоугольник, стороны которого равны, называется квадратом. Таким образом, квадрат является также и ромбом (стороны равны!) с прямыми углами. Можно иначе сказать: квадрат — это четырехугольник, одновременно являющийся ромбом и прямоугольником. Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.
Задача 1. Доказать, что диагонали ромба служат биссектрисами его углов.
Решение. Возвращаясь к рис. 236, напомним, что мы обнаружили равенство треугольников АОВ и СОВ, следовательно, углы АВО и ОВС равны, т. е. диагональ BD - биссектриса угла В. Для второй диагонали применяем те же рассуждения.
Рис. 237.
Задача 2. Высота ромба составляет восьмую часть его периметра. Определить углы ромба.
Решение. Если высота ромба составляет восьмую часть его периметра, то она равна половине стороны ромба. Таким образом, в треугольнике АВМ (рис. 237), отсеченном от ромба его высотой ВМ, проведенной через вершину тупого угла, катет ВМ равен половине гипотенузы АВ и угол А содержит 30°. Тупой угол будет равен 150°.
Упражнения
1. Построить параллелограмм по стороне АВ, острому углу А и высоте ВН, перпендикулярной к стороне CD.
2. Доказать, что параллелограмм, имеющий равные высоты — ромб.
3. Построить прямоугольник по диагонали и стороне.
4. Построить ромб по малой диагонали и острому углу.
5. Показать, что середины сторон ромба служат вершинами прямоугольника, а середины сторон прямоугольника — вершинами ромба.
