155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Обозначив через придем к следующему квадратному неравенству:

Это неравенство удовлетворяется при Поэтому все решения первоначального неравенства должны удовлетворять либо неравенству либо неравенству Неравенство имеет следующее решение:

где . Неравенство же решений не имеет.

Следовательно, решение первоначального неравенства совпадает с решением неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Обозначив через t, придем к следующему квадратному неравенству:

Это неравенство имеет место при . Возвращаясь к , получим неравенства

Обозначив через , получим неравенства

На отрезке последние неравенства имеют следующие решения:

На всей же числовой прямой эти неравенства имеют решения

Возвращаясь к неизвестной получим

Рекомендуем читателю построить график и решить графически неравенства Пример 3. Решить неравенство

Рис. 140.

Решение. Рассмотрим отрезок оси Ох. На рис. 140 видно, что данному неравенству удовлетворяют все заключенные в пределах

(tg x не существует прих ). Так то решение данного неравенства на отрезке имеет вид

и

Учитывая, что функция периодичкая, с периодом, равным , мы получаем, что всюду, где

где

Упражнения

Решить неравенства: