31. Определение функции.

Геометрия, механика, физика, различные области науки и техники дают нам множество примеров, когда рассматриваемые в том или ином вопросе переменные величины находятся в зависимости, так что значение одной из величин определяет значение другой. Площадь круга полностью определяется величиной его радиуса: . Скорость точки, движущейся равноускоренно, зависит от времени по закону . Давление идеального газа при постоянном объеме изменяется в зависимости от температуры: . Во всех указанных примерах, несмотря на различие смысла входящих в них величин, есть нечто общее: задание значения одной из двух рассматриваемых переменных величин определяет значение второй величины. Такого рода зависимости между двумя переменными называют функциональными зависимостями.

Сформулируем определение понятия функции: переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х (из некоторой области X изменения х) поставлено в соответствие по определенному закону значение у. При этом называется независимой переменной (иногда аргументом), а область ее изменения -областью определения (или существования) функции у. Множество значений, принимаемых у при изменении х, называется, как обычно, областью изменения у.

В принятом определении функции существенны два момента: во-первых, в нем указана область изменения X независимой переменной х, и, во-вторых, в нем требуется наличие определенного правила соответствия между у и х.

Рис. 11.

Тот факт, что у есть функция от х, выражают в записи так:

(произносится: «игрек есть эф от икс»). Буквой f в этом равенстве обозначен именно закон соответствия между х и у.

Схематически можно изобразить это так: будем рассматривать две числовые оси х и у (рис. 11); пусть X - область определения функции у = f (х). Каждой точке х из этой области ставится в соответствие некоторая точка оси у (закон соответствия f условно изображается стрелкой).

Значение функции y = f(x), соответствующее определенному значению из области определения функции, обозначается так:

Пример 1. Функция задана равенством (и определена при всех значениях х).

Найти: .

Решение.

При одновременном рассмотрении нескольких различных функций используют различные буквы для обозначения каждого из законов соответствия, например:

Две функции считают равными (совпадающими), если их области определения совпадают и значения при любых одинаковых значениях аргумента равны.

Пример 2. Функции совпадают; нет необходимости обозначать их разными буквами f и .

Пример 3. Функция и функция различаются: первая определена на всей оси, вторая — только при хотя в этом случае они равны: при имеем