Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

В этой главе мы рассмотрим некоторые уравнения, а также простейшие системы уравнений, содержащие неизвестную под знаком тригонометрических функций. Такие уравнения называются тригонометрическими уравнениями.

Приведем некоторые примеры тригонометрических уравнений и их систем:

Решение различных типов тригонометрических уравнений большей частью основано на сведении их к некоторым простейшим уравнениям, которые мы рассмотрим ниже. При этом остаются в силе общие правила, относящиеся к решению уравнений. В частности, данное уравнение не всегда приводится к простейшей форме с помощью одних лишь равносильных преобразований. Поэтому следует проверить найденные решения, подставляя их в исходное уравнение.

Тригонометрические уравнения слишком разнообразны для того, чтобы пытаться дать их общую классификацию или общий метод решения. Мы можем указать лишь способы решения некоторых типов таких уравнений.

§ 1. Уравнения, разрешенные относительно одной из тригонометрических функций

При решении различных тригонометрических уравнений мы будем часто приходить к некоторым простейшим уравнениям, решения которых следует запомнить. Приведем эти уравнения. Для того чтобы можно было дать геометрическую иллюстрацию к этим уравнениям, будем считать углом в радианной мере.

139. Уравнение sin х = а.

Уравнение

имеет решение при Для вывода общей формулы, которая заключает в себе все корни нашего уравнения, воспользуемся рис. 127. Допустим, что мы нашли какой-то корень уравнения

Тогда, в силу периодичности функции , имеем

т. e. и числа вида , где удовлетворяют уравнению (139.1). Заметим еще, что и

т. е. также удовлетворяет уравнению (139.1). Следовательно, и числа вида также удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, зная одно какое-то значение удовлетворяющее уравнению мы можем получить две серии значений аргумента, удовлетворяющих этому же уравнению:

где

Рис. 139.

В качестве будем, как правило, брать .

Объединив две серии (139.2) и (139.3) корней данного уравнения одной формулой, мы будем записывать в дальнейшем его общее решение (совокупность всех корней) в виде

где

Поясним формулу (139.4) и другим способом, с помощью Известно, что (на рис. 139 ).

Уравнению (139.1) удовлетворят углы:

а) положительные:

б) отрицательные:

Все эти углы можно задать одной формулой (139.4), и, обратно, любой угол, полученный по формуле (139.4), есть угол либо вида а), либо вида б). Проверим, например, обратное утверждение для положительных углов.

Если (четное число, то из (139.4) получаем

если же число), то из (139.4) получаем

Аналогичную проверку рекомендуем читателю сделать самостоятельно и для отрицательных углов.

Пример 1.

Решение. . Так как , то .

Пример

Решение. . Так как , то .

Замечание. При выводе формулы (139.4) мы воспользовались рис. 127, на котором . Очевидно, что при помощи этой формулы получаются все корни уравнения Формула (139.4) остается в силе и тогда, когда , а также при или —1. Однако эти последние случаи удобней рассмотреть особо.

Допустим, что или Корни уравнения можно записать так:

где , а корни уравнения можно записать так:

где Допустим теперь, что Корни уравнения можно записать так:

Рекомендуем читателю получить формулы (139.5), (139.6) и (139.7), пользуясь общим правилом (139.4).