87. Свойства арифметической прогрессии.

Рассмотрим некоторые свойства арифметической прогрессии.

1. Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии также последний член, так как они имеют только по одному соседнему члену).

Доказательство. Для члена члены будут соседними. По определению прогрессии мы можем написать

откуда

Взяв полусумму полученных равенств, найден

а это и надо было доказать.

2. У конечной арифметической прогрессии

суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов.

Доказательство. Выпишем несколько пар членов, равноотстоящих от концов прогрессии:

Замечаем, что у каждой такой пары членов сумма их номероз на единицу больше числа членов прогрессии. Таким образом, если на месте от начала прогрессии находится член то на месте от ее конца находится член Найдем сумму этих членов, воспользовавшись формулой (86.1):

Но и поэтому

что и требовалось доказать.