22. Разложение многочлена на множители.

В некоторых случаях данный многочлен может быть представлен как произведение одночлена на многочлен или как произведение двух многочленов. В первом случае говорят, что за знак скобок можно вынести общий множитель, во втором, — что многочлен разлагается на множители. Нам известны некоторые приемы разложения многочлена на множители, в том числе метод группировки и применение формул сокращенного умножения. Ограничимся разбором нескольких типичных примеров (общего универсального метода, чтобы узнать, разлагается ли многочлен на множители и найти их, не имеется).

Пример 1. Разложить на множители .

Решение. Производим группировку слагаемых:

Мы применили здесь формулу разности квадратов (20.10) и прием вынесения общего множителя за скобку.

Пример 2. Разложить на множители:

Решение, а) Добавим и вычтем выражение тогда получим

(применены формулы квадрата суммы (20.1), а затем разности квадратов (20.10)). Окончательно:

б) Добавим к нашему выражению и вычтем выражение чтобы получить куб суммы по формуле (20.8):

В некоторых случаях разложение на множители не удается в действительной области, но может быть осуществлено в комплексной области. Так, например, нельзя разложить на действительные множители, но

Сумма четвертых степеней может быть разложена на множители так:

но она же разлагается и на действительные множители: