182. Построение углов.

Задача 1. Построить угол, равный данному углу а, имеющий заданную вершину О и сторону ОА.

Решение. Пусть дан угол а, требуется построить при стороне ОА угол с вершиной О, равный данному углу а (рис. 209). Проведем сначала дугу окружности с центром в вершине заданного угла а до пересечения ее со сторонами угла в точках К и L.

Дугу того же радиуса опишем из центра О — вершины искомого угла.

Затем. из точки К пересечения этой дуги с ОА, как из центра, сделаем на этой дуге засечку (L) радиусом взятым из чертежа, изображающего заданный угол а; в действительности можно получить две точки пересечения наших дуг: L и при этом в обоих случаях получаются равные (но симметрично расположенные) углы.

Теперь соединим найденную точку L с вершиной О; угол KOL равен углу KCL, т. е. дает решение задачи. Для доказательства наложим данный угол а на построенный так, чтобы вершины их совместились, стороны СК и ОК совпали, а стороны CL и оказались по одну сторону от их общей стороны СК. Тогда окружности, проведенные из центров С и О одним радиусом, совпадут и дуги засечек с центрами К и К, имеющие общий центр и равные радиусы, также совпадут. Поэтому совпадут и точки пересечения L и V. Тем самым совместятся и углы, что доказывает их равенство.

Рис. 210.

Задача 2. Построить биссектрису данного угла.

Решение. Пусть дан угол АОВ (рис. 210). Требуется построить его биссектрису. Воспользуемся свойством биссектрисы быть осью симметрии угла или, что то же самое, геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Проведем дугу окружности с центром О, пересекающую стороны угла в точках К и L; радиус дуги может быть взят произвольно. Если теперь из О опустить перпендикуляр на отрезок KL, то он пройдет через середину отрезка KL, так как наклонные OL и ОК по построению равны. Этот перпендикуляр будет ссью симметрии нашей фигуры и биссектрисой угла АОВ. Поэтому для завершения построения описываем из центров К и L равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке Р, и соединяем .

Прямая ОР по построению будет перпендикуляром к в его середине и, значит, искомой биссектрисой.

Рис. 211.

Задача 3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

Решение. В принципе решение этой задачи дано уже в п. 171 с помощью проведения перпендикуляров — задачи, нам уже известной. Можно решить задачу и иначе. Проведем окружность с центром в данной точке О (рис. 211), пересекающую заданную прямую в двух точках М и N. Соединим эти точки с данной точкой прямыми МО и N0.

Биссектриса угла MON будет искомой прямой, параллельной данной. Для доказательства правильности построения опустим из О перпендикуляр на MN. Так как он будет одновременно перпендикулярен к (биссектрисы смежных углов), то прямая параллельна данной.