242. Взаимно перпендикулярные плоскости.
Две плоскости, образующие прямой двугранный угол, называются взаимно перпендикулярными. В силу сказанного в п. 241 прямой дзугранный угол равен смежному с ним и измеряется прямым плоским углом.
Признак перпендикулярности плоскостей. Две плоскости взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.
Доказательство. Достаточность. Пусть 
- плоскость (рис. 350), а — прямая, перпендикулярная к ней, 
плоскость, проходящая через прямую а. Требуется доказать, что плоскости 
перпендикулярны. Для этого построим плоский угол, служащий мерой двугранного угла между плоскостями 
Рис. 350.
Рис. 351.
Выбирая его вершину в точке 
заметим, что одна из его сторон (в плоскости 
) уже проведена и совпадает с данным перпендикуляром а. Проведем вторую сторону 
в плоскости 
. Принадлежа плоскости 
, она заведомо перпендикулярна к а, и потому плоский угол 
а вместе с тем и данный двугранный угол прямые.
Необходимость. Пусть плоскости 
и 
(рис. 351) перпендикулярны. Покажем, что в плоскости X содержится перпендикуляр к плоскости 
Пусть 
-плоский угол двугранного угла между плоскостями. По условию он должен быть прямым: 
Но по построению плоского угла 
имеем также 
Прямая 
будучи перпендикулярной одновременно к двум прямым плоскости 
перпендикулярна к этой плоскости, что и требовалось доказать. Ясно также, что плоскость и в свою очередь содержит перпендикуляр 
к плоскости 
. Свойство одной плоскости содержать перпендикуляр к другой плоскости симметрично — с этим мы встретились еще в теореме о трех перпендикулярах.
Часто используется следующее предложение:
Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, сама перпендикулярна к ней.
Доказательство предоставляем читателю.
