242. Взаимно перпендикулярные плоскости.

Две плоскости, образующие прямой двугранный угол, называются взаимно перпендикулярными. В силу сказанного в п. 241 прямой дзугранный угол равен смежному с ним и измеряется прямым плоским углом.

Признак перпендикулярности плоскостей. Две плоскости взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них содержит перпендикуляр к другой плоскости.

Доказательство. Достаточность. Пусть - плоскость (рис. 350), а — прямая, перпендикулярная к ней, плоскость, проходящая через прямую а. Требуется доказать, что плоскости перпендикулярны. Для этого построим плоский угол, служащий мерой двугранного угла между плоскостями

Рис. 350.

Рис. 351.

Выбирая его вершину в точке заметим, что одна из его сторон (в плоскости ) уже проведена и совпадает с данным перпендикуляром а. Проведем вторую сторону в плоскости . Принадлежа плоскости , она заведомо перпендикулярна к а, и потому плоский угол а вместе с тем и данный двугранный угол прямые.

Необходимость. Пусть плоскости и (рис. 351) перпендикулярны. Покажем, что в плоскости X содержится перпендикуляр к плоскости Пусть -плоский угол двугранного угла между плоскостями. По условию он должен быть прямым: Но по построению плоского угла имеем также Прямая будучи перпендикулярной одновременно к двум прямым плоскости перпендикулярна к этой плоскости, что и требовалось доказать. Ясно также, что плоскость и в свою очередь содержит перпендикуляр к плоскости . Свойство одной плоскости содержать перпендикуляр к другой плоскости симметрично — с этим мы встретились еще в теореме о трех перпендикулярах.

Часто используется следующее предложение:

Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, сама перпендикулярна к ней.

Доказательство предоставляем читателю.