152. Применение подстановок sinx ± соsx = y.

Если в тригонометрическое уравнение входят только выражения или , то, применив подстановку или можно получить уравнение относительно у.

Пример. Решить уравнение

Решение. Введем новую неизвестную у, положив

Возведя обе части равенства (152.2) в квадрат, получим откуда будем иметь

Подставив (152.2) и (152.3) в (152.1), получим уравнение относительно у:

Корни уравнения (152.4):

Возвращаясь к тригонометрическим функциям, получаем два уравнения:

которые решаются так:

Так как то уравнение (152.7) имеет решение V

где

Действуя аналогично предыдущему, придем к уравнению

Уравнение (152.8) решения не имеет, так как

Итак, уравнение (152.1) имеет решение где

Системы тригонометрических уравнений. Напомним, что решением системы уравнений с неизвестными называется такая совокупность чисел , которая обладает тем свойством, что, будучи подставлена в каждое из уравнений системы, обратит его в верное числовое равенство.

В этом определении слово «решение» нужно понимать не как слово, определяющее процесс действий, которое мы производим над системой уравнений, а как слово, заменяющее слово «корень» («ответ») в случае одного уравнения с одной неизвестной. Заметим, что возможны следующие случаи:

1) система не имеет решения,

2) система имеет конечное число решений,

3) система имеет бесконечное множество решений.

Перейдем теперь к рассмотрению систем тригонометрических уравнений, ограничиваясь отдельными примерами.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Левую часть первого из уравнений системы преобразуем в произведение:

Воспользовавшись тем, что , мы от системы (153.1) перейдем к эквивалентной ей системе

Первое из уравнений системы (153.2) дает . Мы приходим к бесконечному множеству систем

где

Зафиксируем какое-либо и решим систему (153.3). Получим решение . Так как может меняться и принимать бесконечное множество значений , то и система (153.1) имеет бесконечное множество решений

Проверка. Проверим, что решением данной системы является любая пара чисел вида Подставив соответственно значения вместо значений х и у в каждое из уравнений системы (153.1), придем к очевидным равенствам

Итак, система (153.1) имеет бесконечное множество решений где .

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Действуя аналогично предыдущему, придем к системе, эквивалентной данной:

Эта система не имеет решений, так как не может быть больше 1.

Ответ. Данная система уравнений не имеет решений. Замечание 1. Примеры 1 и 2 являются частными случаями системы

Система (153.6) сводится к эквивалентной системе

Последняя система (153.7) может иметь бесчисленное множество решений, а может не иметь ни одного. Рекомендуем читателю в общем виде провести самостоятельно исследование различных случаев.

Замечание 2. Систему (153.6) можно было бы решать и методом подстановки, например, так: а) у выразить через из второго уравнения, т. е. написать подставить в первое уравнение системы (153.6) и записать его так: . В этом случае данная система (153.6) заменилась бы эквивалентной ей системой

Замечание 3. Аналогично предыдущему решаются и системы

или

Замечание 4. Система вида

(и аналогичные ей) сводится к рассмотренным выше системам, если воспользоваться формулами приведения, положив, например, или .

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Левую часть первого уравнения преобразуем по формуле

и используем второе уравнение. После указанных преобразований система (153.12) заменится эквивалентной ей системой

Эта система имеет решение, если . В этом случае имеем

откуда получаем совокупность решений , где

и

Замечание 5. Аналогично решаются системы

или

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Воспользовавшись формулами

(ср. с формулой (121.2)), получим систему, эквивалентную данной:

Система (153.17) решается так же, как система из примера 1. Пример 5. Решить систему уравнений

Решение. Первое уравнение запишем в виде пропорции:

Предполагаем пока, что . Образуем теперь производную пропорцию:

Пусть Из последней пропорции получаем

Предполагаем, что . Воспользовавшись вторым уравнением данной системы, придем к системе

Решая первое уравнение, получим

Мы приходим к бесконечному множеству систем

где

Решая каждую из систем (153.20), получим

Проверим теперь, являются ли решения (153.21) решениями первоначальной системы. Второе уравнение данной системы обращается сразу в справедливое равенство . Подставим теперь в первое уравнение системы (153.18), получим

Рассмотрим два случая.

Случай I. - четное число. Имеем

Обозначим . Следовательно,

Напомним, что . В нашем случае имеем

Тогда

Теперь имеем , т. е. .

Случай нечетное число. Имеем

Аналогичным путем получим

Следовательно, Итак, решения (153.21) являются решениями данной системы.

Исследуем теперь особые случаи, которые мы временно исключили из рассмотрения.

1) Корни уравнения т. е. числа вида не могут входить в решения нашей системы, ибо не существует. Следовательно, предположив, что мы не потеряли решений данной системы.

2) Мы предположили также, что . Если бы могло выполняться равенство , то мы имели бы , но . Мы пришли к противоречию, ибо у нас Следовательно, предположив, что , мы не потеряли решений данной системы.

3) Мы предположили также, что . Допустим теперь, что . Это возможно, если, например:

а) . Но в этом случае не имеет смысла входящий в первое уравнение данной системы.

б) . Но это тоже невозможно, ибо в противном случае мы имели бы , а мы должны иметь .

Следовательно, предположив, что , мы не потеряли решений данной системы.

Итак, система (153.18) имеет бесконечное множество решений где

и

Пример 6. Решить систему уравнений

Левые части уравнений преобразуем в произведения; получим новую систему, эквивалентную данной:

Предположив, что , поделим почленно первое уравнение системы (153.23) на второе. Получим уравнение

из которого находим

Подставим (153.25) в первое уравнение системы (153.23):

Заметим, что После этого будем иметь

Решив уравнение (153.26), получим

Для отыскания и у нужно теперь решить бесконечное множество систем

которые получаются при различных комбинациях ( независимо друг от друга могут принимать значения ). Считая пик фиксированными, решим систему (153.28). Сложив два уравнения системы (153.28), получим

откуда

Вычитая второе уравнение из первого, будем иметь

откуда

Итак, система (153.22) имеет бесчисленное множество решений где

Замечание 6. Предположив, что , мы не потеряли решений системы (153.22), ибо те х и у, при которых или не являются решениями системы (153.23), а следовательно, и решениями эквивалентной ей системы (153.22).

Замечание 7. Можно показать, что

После этого формулы (153.29) можно несколько упростить. Например, для четных будем иметь

где

Замечание 8. В заключение укажем некоторые частные решения системы (153.22). Положив, например, в , получим

и

Замечание 9. Система (153.22) является частным случаем системы

Рекомендуем читателю самостоятельно решить и провести исследование различных случаев системы (153.31).

Упражнения

Решить уравнения:

1. . (Сравнить с ответом, который получился при решении этого же уравнения (упражнение 22 к § 2) способом, указанным в § 2 настоящей главы.) .

Решить следующие системы уравнений: