150. Переход к функциям удвоенного аргумента.

Рассмотрим уравнения

и

где — какие-то постоянные числа. Если числа удовлетворяют некоторым условиям, то уравнения (150.1) и (150.2) легко могут быть решены с помощью приема, основанного на выражении квадратов тригонометрических функций через тригонометрические функции удвоенного аргумента. Рассмотрим, например, уравнение (150.1). Применив к его левой и правой частям формулу (121.3), придем к уравнению

Сказанное об уравнении (150.1) относится и к уравнению (150.2), ибо оно сводится в точности к уравнению (150.3). В самом деле, применив формулу (121.2), получим

или

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Действуя аналогично предыдущему, получим

или

Перейдя в последнем уравнении к произведениям по формуле (125.3), получим

или

Последнее уравнение распадается на два:

Мы получили три серии решений первоначального уравнения. Заметим, что серия решений, записанных с помощью формулы входит в серию решений - она получается из последней при нечетном . Следовательно, окончательно имеем

(мы изменили обозначение на ).

Мы не делаем проверки полученных решений, так как равносильность соответствующих уравнений нигде не была нарушена.

Замечание. Аналогичным приемом при определенных условиях могут быть решены и следующие уравнения:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Перенеся в правую часть уравнения, заменим на на . После этого придем к уравнению

или

Последнее уравнение распадается на три:

Итак, мы получили три серии решений первоначального уравнения:

Мы не делаем проверки полученных решений, так как нигде не нарушали равносильности уравнений.

Рассмотрим уравнение

где а — действительное число.

Воспользовавшись формулой

перепишем уравнение (150.8) в виде

или

Последнее уравнение имеет решение, если , т. е. если . В этом случае уравнение (150.10) распадается на два простейших уравнения:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись формулой (119.5), придем к уравнению

откуда получим

Последнее уравнение, а следовательно и исходное уравнение, будет иметь общее решение в виде

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись формулой (119.5), придем к уравнению

из которого получим Последнее уравнение, а следовательно, и уравнение (150.12), решения не имеет, ибо не выполнено условие . В этом случае и не выполнено условие необходимое для существования решения уравнения (150.12).

Замечание. Примеры 3 и 4 можно было решать, используя формулы (121,3) и (121.2). В этом случае мы бы имели

Вместо уравнения (150.11) мы получили бы

Вместо же уравнения (150.12) мы получили бы уравнение которое решения не имеет.