§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла

97. Определение основных тригонометрических функций.

В гл. IV было дано общее определение функциональной зависимости (общее определение функции) и изучались некоторые элементарные функции. Теперь мы введем основные тригонометрические функции.

Пусть радиус-вектор точки М образует угол а с осью Ох (рис. 84), причем и у соответственно абсцисса и ордината конца М вектора, — его модуль, а величина угла а измеряется в градусах или в радианах (см. пп. 165, 166).

1. Синусом угла а (обозначение: sin а) называется отношение ординаты у (см. рис. 84) к длине радиуса-вектора ОМ:

2. Косинусом угла а (обозначение: cos a) называется отношение абсциссы к длине радиуса-вектора ОМ:

Рис. 84.

Ниже (замечание 1) мы покажем, что sin a и cos a, определенные равенствами (97.1) и (97.2), действительно зависят лишь от угла а (но не от радиуса окружности ).

3. Тангенсом угла а (обозначение: ) называется отношение синуса угла а к косинусу этого угла:

4. Котангенсом угла а (обозначение: ) называется отношение косинуса угла а к синусу этого угла:

5. Секансом угла а (обозначение: sec а) называется величина, обратная cos a:

6. Косекансом угла а (обозначение: cosec а) называется величина, обратная sin a:

Замечание 1. Тригонометрические функции (97.1) — (97.6) действительно являются функциями только угла а, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор образует с осью абсцисс данный угол а, то отношения не зависят от длины радиуса-вектора; читатель легко в этом убедится.

Замечание 2. Из определения следует, что

Соотношения (97.7) и (97.8) можно было бы принять в качестве определений для .

Замечание 3. Аналогично получаем

Соотношения (97.9) и (97.10) можно было бы также принять в качестве определений для

Рис. 85.

Замечание 4. Во всех определениях (97.1) — (97.6) мы предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, имеет смысл, если имеет смысл, если и т. д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (97.1) — (97.6) угла а не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице Такой вектор называют единичным радиусом-вектором. В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис. 85):

Формулы для tg остались прежними (см. (97.7) и (97.8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (97.1), (97.2), (97.9) и (97.10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от 0° до 360° опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис. 85). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов. Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке А к неподвижному радиусу-вектору ОА.

Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис. 86). Рассмотрим угол а и введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.

а) Если точка М единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения ОМ с осью тангенсов, рис. 86, а).

Рис. 86.

б) Если точка М единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой тангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения МО с ссыо тангенсов, рис. 86, б).

Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате (рис. 86) соответствующей точки оси тангенсов, т. е. всегда Докажем это для углов первых двух четвертей:

1) (рис. 86, a), , где - ордината точки .

2) (рис. 86, б). , где - абсцисса и ордината точки М. Из подобия прямоугольных треугольников имеем

или

Следовательно,

Рекомендуем читателю самостоятельно рассмотреть случаи:

Заметим еще следующее:

а) если точка М лежит на оси ординат (например, а = 270°), то соответствующей ей точки тангенсов не существует, но при этом и также не существует;

б) в рассмотренных случаях 1)-4) мы брали угол а в пределах от 0° до 360°, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол а любым.

Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора ОВ, образующего с осью угол, равный 90°) к оси ординат.

Рис. 87.

Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис. 87). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.

а) Если точка М единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку М, (точку пересечения продолжения ОМ с осью котангенсов, рис. 87, а).

б) Если точка М единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой котангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения МО с осью котангенсов, рис. 87, б).

Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла а равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов, т. е.

Если точка М лежит на оси абсцисс (например,

а = 180°), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и также не существует.