98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.

В дальнейшем мы будем использовать не только градусную, но и радианную меру углов (см. п. 166); радианное измерение углов станет особенно важным при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента (п. 107). В связи с этим напомним некоторые факты из геометрии, относящиеся к градусной и радианной системам измерения углов и дуг:

1) при измерении углов и дуг в радианной системе наименование единицы измерения — радиана обычно опускают и говорят, например, «угол равен вместо «угол равен радиана»; «угол равен 1000» вместо «угол равен 1000 радиан»;

2) при переходе от градусной меры (а градусов) к радианной мере (а радиан) пользуются формулой

3) при переходе от радианной меры (а радиан) к градусной мере (а градусов) пользуются формулой

Полезно запомнить соответствующие значения в градусной и радианной мере некоторых наиболее часто встречающихся углов, приведенные в следующей таблице.

Рассмотрим теперь, как изменяется (по абсолютной величине и знаку) каждая из основных тригонометрических функций при изменении угла а от 0 до . За их изменением проследим, пользуясь единичной окружностью (см. п. 97).

1. sin a. Согласно первой формуле , где ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора (см. рис. 85).

1) (первая четверть). Если углы удовлетворяют неравенствам , то следовательно, и При возрастании угла a от 0 до монотонно возрастает от 0 до 1.

2) : (вторая четверть). Если углы удовлетворяют неравенствам , то следовательно,

При возрастании угла а от до а монотонно убывает от 1 до 0.

3) (третья четверть). При возрастании угла от до а монотонно убывает от 0 до (рис. 90).

Рис. 88.

Рис. 89.

Рис. 90.

Рис. 91.

4) (четвертая четверть). При возрастании угла а от до монотонно возрастает от —1 до 0 (рис. 91).

Вывод. При любом угле а абсолютная величина sin a не превосходит 1, что записывается так:

или в равносильной форме:

II. cosa. По второй формуле (97.11) , где абсцисса конца подвижного единичного радиуса-вектора (рис. 85).

1) (первая четверть). Для углов удовлетворяющих неравенствам а), выполняется неравенство и следовательно, При возрастании угла а от 0 до монотонно убывает от 1 до 0.

2) (вторая четверть). При возрастании угла а от до монотонно убывает где от 0 до —1 (рис. ).

Рис. 92.

3) (третья четверть). Для углов удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство следовательно, . При возрастании угла а от до монотонно возрастает от —1 до 0.

4) (четвертая четверть). При возрастании угла от до монотонно возрастает где от 0 до 1 (рис. 92, б).

Вывод. При любом угле а абсолютная величина cos a не превосходит 1, что записывается так:

или в равносильной форме:

III. tg a. Тангенс угла а численно равен ординате соответствующей точки оси тангенсов (см. п. 97).

1) (первая четверть).

Для углов удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство следовательно, . При возрастании угла а от 0 до неограниченно возрастает. Заметим, что не существует. Если угол а приближается к оставаясь меньше то неограниченно возрастает стремится к плюс бесконечности).

Рис. 93.

Рис. 94.

Сходное положение встречалось при изучении функции если приближается к нулю, оставаясь больше нуля, то стремится к плюс бесконечности.

Это же условно записывают так:

2) (вторая четверть). Для углов , удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство следовательно, При возрастании угла а от до я возрастает до нуля.

Если а стремится к оставаясь больше то неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным стремится к минус бесконечности). Это записывается так:

3) (третья четверть). Тангенс ведет себя так же, как и в первой четверти, т. е. возрастает от 0 до Рекомендуем читателю сделать соответствующий рисунок, аналогичный рис. 93.

Если а стремится к оставаясь меньше , то стремится к плюс бесконечности:

4) (четвертая четверть). Тангенс ведет себя так же, как и во второй четверти, т. е. возрастает от до 0. Рекомендуем читателю сделать соответствующий рисунок, аналогичный рис. 94.

Если а стремится к оставаясь больше , то стремится к минус бесконечности:

IV. ctg a. Котангенс угла а численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов (см. п. 97).

1) (первая четверть). Для углов а, и удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство и следовательно, . При возрастании угла а от 0 до убывает до нуля.

Рис. 95.

Рис. 96.

Если а стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то стремится к плюс бесконечности:

2) (вторая четверть). Для углов удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство следовательно, При возрастании угла а от до убывает от 0 до Если а стремится к я, оставаясь меньше , то ctg a стремится к минус бесконечности:

Разбор поведения ctg a в остальных четвертях предоставляется читателю. Приведем только окончательные результаты:

3) (третья четверть), убывает от до 0; при , где четверть), убывает от 0 до при , где .

Упражнения

1. Может ли синус угла быть равным:

2. Может ли косинус угла быть равным:

3. Углом какой четверти является угол а, у которого:

4. Проследить за поведением а при изменении угла а в пределах от 0 до .

5. Проследить за поведением cosec а при изменении угла а в пределах от 0 до .

6. Может ли секанс угла быть равным:

7. Может ли косеканс угла быть равным: ?