98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.
В дальнейшем мы будем использовать не только градусную, но и радианную меру углов (см. п. 166); радианное измерение углов станет особенно важным при переходе к тригонометрическим функциям числового аргумента (п. 107). В связи с этим напомним некоторые факты из геометрии, относящиеся к градусной и радианной системам измерения углов и дуг:
1) при измерении углов и дуг в радианной системе наименование единицы измерения — радиана обычно опускают и говорят, например, «угол равен
вместо «угол равен
радиана»; «угол равен 1000» вместо «угол равен 1000 радиан»;
2) при переходе от градусной меры (а градусов) к радианной мере (а радиан) пользуются формулой
3) при переходе от радианной меры (а радиан) к градусной мере (а градусов) пользуются формулой
Полезно запомнить соответствующие значения в градусной и радианной мере некоторых наиболее часто встречающихся углов, приведенные в следующей таблице.
Рассмотрим теперь, как изменяется (по абсолютной величине и знаку) каждая из основных тригонометрических функций при изменении угла а от 0 до
. За их изменением проследим, пользуясь единичной окружностью (см. п. 97).
1. sin a. Согласно первой формуле
, где
ордината конца подвижного единичного радиуса-вектора (см. рис. 85).
1)
(первая четверть). Если углы
удовлетворяют неравенствам
, то
следовательно, и
При возрастании угла a от 0 до
монотонно возрастает от 0 до 1.
2)
: (вторая четверть). Если углы
удовлетворяют неравенствам
, то
следовательно,
При возрастании угла а от
до
а монотонно убывает от 1 до 0.
3)
(третья четверть). При возрастании угла
от
до
а монотонно убывает
от 0 до
(рис. 90).
Рис. 88.
Рис. 89.
Рис. 90.
Рис. 91.
4)
(четвертая четверть). При возрастании угла а
от
до
монотонно возрастает
от —1 до 0 (рис. 91).
Вывод. При любом угле а абсолютная величина sin a не превосходит 1, что записывается так:
или в равносильной форме:
Для углов
удовлетворяющих неравенствам
выполняется неравенство
следовательно,
. При возрастании угла а от 0 до
неограниченно возрастает. Заметим, что
не существует. Если угол а приближается к
оставаясь меньше
то
неограниченно возрастает
стремится к плюс бесконечности).
Рис. 93.
Рис. 94.
Сходное положение встречалось при изучении функции
если
приближается к нулю, оставаясь больше нуля, то
стремится к плюс бесконечности.
Это же условно записывают так:
2)
(вторая четверть). Для углов
, удовлетворяющих неравенствам
выполняется неравенство
следовательно,
При возрастании угла а от
до я
возрастает до нуля.
Если а стремится к
оставаясь больше
то
неограниченно возрастает по абсолютной величине, оставаясь отрицательным
стремится к минус бесконечности). Это записывается так:
3)
(третья четверть). Тангенс ведет себя так же, как и в первой четверти, т. е. возрастает от 0 до
Рекомендуем читателю сделать соответствующий рисунок, аналогичный рис. 93.
Если а стремится к
оставаясь меньше
, то
стремится к плюс бесконечности:
4)
(четвертая четверть). Тангенс ведет себя так же, как и во второй четверти, т. е. возрастает от
до 0. Рекомендуем читателю сделать соответствующий рисунок, аналогичный рис. 94.
Если а стремится к
оставаясь больше
, то
стремится к минус бесконечности:
IV. ctg a. Котангенс угла а численно равен абсциссе соответствующей точки оси котангенсов (см. п. 97).
1)
(первая четверть). Для углов а, и
удовлетворяющих неравенствам
выполняется неравенство
и
следовательно,
. При возрастании угла а от 0 до
убывает до нуля.
Рис. 95.
Рис. 96.
Если а стремится к нулю, оставаясь больше нуля, то
стремится к плюс бесконечности:
2)
(вторая четверть). Для углов
удовлетворяющих неравенствам
выполняется неравенство
следовательно,
При возрастании угла а от
до
убывает от 0 до
Если а стремится к я, оставаясь меньше
, то ctg a стремится к минус бесконечности:
Разбор поведения ctg a в остальных четвертях предоставляется читателю. Приведем только окончательные результаты:
3)
(третья четверть),
убывает от
до 0; при
, где
четверть),
убывает от 0 до
при
, где
.
Упражнения
1. Может ли синус угла быть равным:
2. Может ли косинус угла быть равным:
3. Углом какой четверти является угол а, у которого:
4. Проследить за поведением
а при изменении угла а в пределах от 0 до
.
5. Проследить за поведением cosec а при изменении угла а в пределах от 0 до
.
6. Может ли секанс угла быть равным:
7. Может ли косеканс угла быть равным:
?