11. Корни.

Если - натуральное число, а - действительные числа, причем

то число b называется корнем степени из числа а. Таким образом, корнем степени из числа а называется каждое число b такое, что его степень равна а.

Действие отыскания корня из числа а называется действием извлечения корня степени из а. Действие извлечения корня степени является действием, обратным по отношению к действию возведения числа в степень .

Если — нечетное число, то, как можно доказать, для любого действительного числа а существует единственное значение корня степени (в действительной области; извлечение корней в области комплексных чисел рассматривается в п. 18).

Если — четное, то действие извлечения корня степени из отрицательного числа невозможно, так как четная степень любого числа неотрицательна. Можно показать, что для любого положительного числа а корень четной степени имеет два значения, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку. Например, числа суть корни квадратные из числа 9. Положительный корень четной степени из положительного числа называется арифметическим корнем (или арифметическим значением корня). Его единственность видна из такого соображения. Если бы имелось два положительных корня то одно из чисел было бы больше другого, например, Но тогда и т. е. оба числа не могли бы быть корнями степени из одного и того же числа а. Это рассуждение применимо и к случаю корней нечетной степени.

Наметим обоснование утверждения о существовании корня а произвольной степени из любого положительного действительного числа. Прежде всего, может случиться, что корень существует в области натуральных чисел. Если это так, то этим задача решается; если в области натуральных чисел корня не имеется, то найдутся два последовательных целых числа k и такие, что

Теперь будем рассматривать десятичные дроби вида где Либо среди них имеется искомый корень, либо снова получим для некоторого

Далее будем искать приближение корня в виде дроби с двумя знаками после запятой и т. д. Таким путем в принципе можно построить ряд десятичных приближений по недостатку и по избытку для некоторого действительного числа, которое и следует принять за значение искомого корня (аналогично примеру в п. 6).

Корень степени обозначается с помощью знака радикала ; при этом для придания символу а вполне определенного смысла условимся понимать под

1) единственное значение корня в случае нечетного (а в этом случае — любое действительное число).

2) арифметический корень степени из а в случае четного (в этом случае а > 0).

Корень из нуля при любом показателе равен нулю.

В случае, если мы хотим рассматривать оба значения корня четной степени из положительного числа, то пишем если перед корнем четной степени знак не написан, то всегда имеют в виду арифметическое значение корня.

В случае корня степени 2 (квадратного корня) пишут просто ; например, . Корень третьей степени называют кубическим корнем.

Если а — произвольное действительное число, то

при нечетном и

при четном (в частности, в случае квадратного корня). Так, например,

Укажем основные правила действий над корнями; для простоты предположим, что числа под знаком корня — положительные.

1) Извлечение корня из произведения. Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

Доказательство. Для доказательства этого (и дальнейших) свойства достаточно проверить, что при возведении обеих частей равенства (11.1) в степень получим одно и то же число. При этом мы пользуемся соотношением непосредственно вытекающим из определения корня степени.

Имеем

и

откуда и вытекает требуемое свойство.

2) Возведение корня в степень. Для возведения корня в степень достаточно возвести в, эту степень подкоренное выражение, сохраняя показатель корня.

Это правило записывается так:

Свойство 2) непосредственно вытекает из свойства 1), а также может быть проверено возведением обеих частей равенства (11.2) в степень .

3) Извлечение корня из частного. Корень из частного равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя:

4) Извлечение корня из степени. Пусть показатель степени m является кратным показателя корня Тогда

т. е. при извлечении корня из степени показатель степени следует разделить на показатель корня.

Пусть в общем случае не является кратным выполним деление на с остатком; Тогда

Действительно, применяя уже найденные правила, получим

Пример

Извлечение корня из корня. Для извлечения корня из корня достаточно перемножить показатели корней, сохранив подкоренное выражение:

Сокращение показателя корня и показателя подкоренного выражения на их общий множитель. Пусть в выражении н. о. д. показателей тип равен k (п. 3). Это значит, что причем - целые взаимно простые числа.

Тогда . Это означает, что если показатели корня и подкоренного выражения имеют общий делитель, то на него их можно сократить, не меняя величины корня. Например:

Обратно, если показатели корня и подкоренного выражения умножить на одно и то же число, то корень от этого не изменится. Например:

Приведение корней к общему показателю. Пользуясь только что установленным свойством, можно два пли несколько корней приводить к общему показателю, который представляет собой н. о. к. показателей всех данных корней.

Это преобразование полезно применять при умножении корней с разными показателями.

Пример 2. Упростить произведение .

Решение. . Здесь н. о. к. показателей корней равнялось 6; в процессе преобразования мы применили также правило 6) сокращения показателей степени и корня и правило 1).

Аналогичным образом выполняется и деление корней.

Пример 3. .