121. Тригонометрические функции половинного аргумента.

Часто бывает необходимо, зная тригонометрические функции аргумента а, найти тригонометрические функции аргумента . Выведем соответствующие формулы. Мы имеем

Присоединим к этой формуле основное тригонометрическое тождество:

Сложив почленно (119.8) и (121.1), получим

Вычитая (119.8) из (121.1), получим

Из тождеств (121.2) и (121.3) соответственно имеем

Разделив почленно тождество (121.3) на (121.2), приходим к тождеству

Из последнего тождества имеем

Применяя формулы (121.4), (121.5) и (121.7), следует всякий раз заботиться о знаке, который нужно взять перед радикалом.

Для вычисления могут быть использованы и формулы, выражающие через cosa и sina рационально. Выведем эти формулы:

Итак,

Так как всегда имеет смысл только при то из (121.8) можно заключить, что знак во всех случаях совпадает со знаком sina.

Итак,

Из последней формулы также ясно, что знак совпадает со знаком sina, ибо всегда

Пример 1. Найти Решение. Мы знаем, что Следовательно, применяя формулы (121.5), (121.4) и (121.9), получим

Пример 2. Дано: где Найти

Решение. Сначала находим

Так как

Применяя формулы (121.5), (121.4) и беря в них радикалы с соответствующими знаками, получим

Пример 3. Доказать тождество .

Решение. Так как , то достаточно доказать, что . На основании формул приведения и (99.2) имеем

Применяя формулу (121.2), получим

Далее получаем

применили сначала формулу (119.1), приняв за данный аргумент , а за удвоенный аргумент , а затем формулу приведения . Следовательно, тождество доказано.