185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность.
Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника. Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например 
Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена и от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третьей биссектрисе 
т. е. в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Точка Р пересечения биссектрис одинаково удалена от сторон треугольника; это значит, что изображенные на рис. 218 три перпендикуляра 
опущенные из этой точки на стороны треугольника, равны между собой.
Рис. 218.
Рис. 219.
Опишем радиусом 
, равным длине этих перпендикуляров, окружность с центром в точке Р. Тогда эта окружность будет касаться каждой из трех сторон треугольника соответственно в точках 
Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак в каждый треугольник можно вписать окружность. Центр ее лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Ясно, что, и обратно, если какая-то окружность лежит внутри треугольника, касаясь его сторон, то центр ее одинаково удален от сторон треугольника и потому лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Это означает, что в данный треугольник можно вписать единственную окружность. Существуют, однако еще три окружности, касающиеся всех трех прямых, на которых лежат стороны треугольника. Так, рассмотрим (рис. 219) треугольник ABC и биссектрисы его внутреннего угла А и двух внешних углов В и С; точка пересечения двух последних биссектрис одинаково удалена от всех трех прямых АВ, ВС и АС и потому лежит на биссектрисе угла А; она является центром окружности, касающейся стороны ВС треугольника и продолжений двух других его сторон. Такая окружность называется внешне вписанной в треугольник.
