13. Алгоритм извлечения квадратного корня.

Пусть дано произвольное положительное число А; тогда можно указать последовательность арифметических действий, приводящую к вычислению квадратного корня из данного числа с любой заданной степенью точности.

Эта последовательность действий, описанная ниже, получает название алгоритма извлечения квадратного корня.

Предположим вначале для простоты, что данное число — целое -значное; записываем его в виде п. 1). Ответим на вопрос, сколько цифр будет содержать целая часть арифметического квадратного корня из А. Отиет получается из следующего сравнения неравенств для числа и корня из этого числа:

Таким образом, если А — одно- или двузначное число, то целая часть -однозначная; если А — трех- или четырехзначное число, то целая часть —двузначная и т. д. Вообще, если А — -значное число, то целая часть будет -значной при четном и -значной при нечетном . Практически это число знаков определяется механически таким образом: число А разбивают на «грани» по две цифры, начиная справа; при этом последняя левая грань может состоять из одной или двух цифр, например:

Число граней и дает нам число цифр целой части .

Следующий шаг состоит в определении первой цифры числа ; эта цифра легко находится в уме, так как для ее отыскания достаточно помнить квадраты целых чисел от 1 до 9. В самом деле, первая цифра зависит только от первой (считая слева) грани числа А. Например, содержит заведомо 5 сотен независимо от цифр содержит одну тысячу независимо от цифр . Можно записать

Покажем, из каких соображений можно находить следующую цифру числа . Цифра определяется как наибольшая цифра, при которой еще выполняется неравенство ( - число граней А)

или

откуда, тем более,

или

Можно было бы находить из неравенства (13.1), но решение квадратного неравенства является трудоемким; поэтому переходят к простому линейному неравенству (13.2), из которого и получается условие (13.3) для подбора . Берем наибольшее целое удовлетворяющее условию (13.3).

Такое может еще оказаться слишком большим; надо проверить, выполняется ли и неравенство (13.1); если оказалось слишком большим, то уменьшаем его на единицу и снова проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1). Таким образом подбирается

При этом определяется с использованием лишь первых двух левых граней А, остальные грани А на выбор не влияют.

Пример 1. для отыскания имеем неравенство (13.3), которое запишется так:

Наибольшее значение . Проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1):

Так как неравенство выполнено, то вторая цифра корня равна

Пример 2. ; для имеем

Наибольшее возможное значение но неравенство

неверно. Испытываем

Неравенство выполнено. Итак,

Замечание. Здесь практически можно было определить первые две цифры корня сразу, в уме, так как очевидно, что

После того как найдены первые две цифры корня из тех же соображений находят следующие, в том числе и идущие после запятой цифры Например, для исходят из неравенства

получая из него оценку для

При практическом извлечении корня все вычисления располагают в некоторой определенной схеме, которую мы напомним на тех же примерах и .

Перед разбором примеров приведем для удобства формулировку правила извлечения корня (А. Н. Барсуков, Алгебра, изд-во «Просвещение», 1967).

Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.

Испытание это производится так: за вертикальной чертой корня (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытывать следующую, меньшую цифру.

Следующие цифры корня находят с помощью того же приема.

Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример 3. Вычислить: а) с точностью до 0,01; б) с точностью до 0,1.

Решение.

Примечания. Цифра 7 не выдерживает испытания; переходим к следующей цифре 6. Мысленно дополняем подкоренное число нулями за запятой и сносим следующую нулевую грань.

Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для дробной — вправо:

в остальном процесс извлечения корня остается тем же.

Упражнения

1. Вычислить:

2. Упростить: .

3. Упростить:

4. Упростить:

Вычислить квадратные корни из чисел: а) с точностью до 0,01; б) 12,858 с точностью до 0,001; в) с точностью до 0,001.