13. Алгоритм извлечения квадратного корня.
Пусть дано произвольное положительное число А; тогда можно указать последовательность арифметических действий, приводящую к вычислению квадратного корня из данного числа с любой заданной степенью точности.
Эта последовательность действий, описанная ниже, получает название алгоритма извлечения квадратного корня.
Предположим вначале для простоты, что данное число — целое
-значное; записываем его в виде
п. 1). Ответим на вопрос, сколько цифр будет содержать целая часть арифметического квадратного корня из А. Отиет получается из следующего сравнения неравенств для числа и корня из этого числа:
Таким образом, если А — одно- или двузначное число, то целая часть
-однозначная; если А — трех- или четырехзначное число, то целая часть
—двузначная и т. д. Вообще, если А —
-значное число, то целая часть
будет
-значной при четном
и
-значной при нечетном
. Практически это число знаков определяется механически таким образом: число А разбивают на «грани» по две цифры, начиная справа; при этом последняя левая грань может состоять из одной или двух цифр, например:
Число граней и дает нам число цифр целой части
.
Следующий шаг состоит в определении первой цифры числа
; эта цифра
легко находится в уме, так как для ее отыскания достаточно помнить квадраты целых чисел от 1 до 9. В самом деле, первая цифра
зависит только от первой (считая слева) грани числа А. Например,
содержит заведомо 5 сотен независимо от цифр
содержит одну тысячу независимо от цифр
. Можно записать
Покажем, из каких соображений можно находить следующую цифру
числа
. Цифра
определяется как наибольшая цифра, при которой еще выполняется неравенство (
- число граней А)
или
откуда, тем более,
или
Можно было бы находить
из неравенства (13.1), но решение квадратного неравенства является трудоемким; поэтому переходят к простому линейному неравенству (13.2), из которого и получается условие (13.3) для подбора
. Берем наибольшее целое
удовлетворяющее условию (13.3).
Такое
может еще оказаться слишком большим; надо проверить, выполняется ли и неравенство (13.1); если
оказалось слишком большим, то уменьшаем его на единицу и снова проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1). Таким образом подбирается
При этом
определяется с использованием лишь первых двух левых граней А, остальные грани А на выбор
не влияют.
Пример 1.
для отыскания
имеем неравенство (13.3), которое запишется так:
Наибольшее значение
. Проверяем, удовлетворяется ли неравенство (13.1):
Так как неравенство выполнено, то вторая цифра корня равна
Пример 2.
; для
имеем
Наибольшее возможное значение
но неравенство
неверно. Испытываем
Неравенство выполнено. Итак,
Замечание. Здесь практически можно было определить первые две цифры корня сразу, в уме, так как очевидно, что
После того как найдены первые две цифры корня
из тех же соображений находят следующие, в том числе и идущие после запятой цифры
Например, для
исходят из неравенства
получая из него оценку для
При практическом извлечении корня все вычисления располагают в некоторой определенной схеме, которую мы напомним на тех же примерах
и
.
Перед разбором примеров приведем для удобства формулировку правила извлечения корня (А. Н. Барсуков, Алгебра, изд-во «Просвещение», 1967).
Правило. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.
Испытание это производится так: за вертикальной чертой корня (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытывать следующую, меньшую цифру.
Следующие цифры корня находят с помощью того же приема.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример 3. Вычислить: а)
с точностью до 0,01; б)
с точностью до 0,1.
Решение.
Примечания. Цифра 7 не выдерживает испытания; переходим к следующей цифре 6. Мысленно дополняем подкоренное число нулями за запятой и сносим следующую нулевую грань.
Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для дробной — вправо:
в остальном процесс извлечения корня остается тем же.
Упражнения
1. Вычислить:
2. Упростить:
.
3. Упростить:
4. Упростить:
Вычислить квадратные корни из чисел: а)
с точностью до 0,01; б) 12,858 с точностью до 0,001; в)
с точностью до 0,001.